Studijní opora · ČZU

Ekonometrie od nuly ke zkoušce.

Komplexní materiál vystavěný z KCkurzy materiálů Mariána Rybáře — 124 teoretických otázek, řešené testy, vzorce, harmonogram. Vše v jednom místě, s odhadem 25–35 hodin studia.

Start: Učební plán Mapa pojmů Vzorce Řešené testy

124

teoretických otázek

hlavních sekcí

řešených úloh

40 s.

skript od Rybáře

~30 h

odhad studia

Jak používat

Úvod

Tento dokument je jeden HTML soubor obsahující veškerý obsah potřebný k absolvování zkoušky z ekonometrie na ČZU. Funguje offline, dá se vytisknout / uložit jako PDF (⌘P nebo Ctrl+P), a má interaktivní funkce pro studium.

⌨ Klávesové zkratky

⌘K nebo / — fokus do hledání

⌘P — Uložit jako PDF

✓ Sledování pokroku

U každé otázky je checkbox. Klikni „probráno". Stav se ukládá do prohlížeče (localStorage). Vrchní lišta ukazuje % probraných otázek.

🌓 Tmavý režim

Tlačítko v pravém horním rohu. Při tisku se vždy přepne na světlý.

🔎 Hledání

Hledá napříč všemi otázkami a sekcemi v reálném čase. Schová nevyhovující karty.

Doporučený postup Začni mapou pojmů (15 minut, abys viděl celek), pak vyber jeden ze tří učebních plánů podle toho, kolik máš času. Při studiu odškrtávej probrané otázky a před zkouškou si projeď cheatsheet a řešené testy.

Orientační mapa

Mapa pojmů

Jak souvisí klíčové pojmy ekonometrie. Ekonomická teorie → model (EKM/EKMR) → odhad parametrů (BMNČ/DMNČ) → verifikace (4 typy) → použití (prognóza, kvantifikace, simulace).

Šipky čti jako „vede k". Sekce A–I jsou barevně sladěné s touto mapou.

Co kdy

Učební plán

Vyber si jednu ze tří variant podle dostupného času. Plán je rozdělený podle 9 hlavních sekcí teorie (A–I) a počítá s 1.5–3 hodinami čistého času denně.

Sprint · 7 dní

1 týden — crash

Před zkouškou „za týden" — všechno klíčové, žádné odbočky. Ráno teorie, večer testy.

Den 1: Sekce A (Q1–10) + sekce B (Q14–22). Skripta str. 1–9.
Den 2: Sekce C (BMNČ) + sekce D (R², t-test, F-test). Skripta str. 11–14.
Den 3: Sekce E — multikolinearita, autokorelace, heteroskedasticita, JB. Skripta str. 10, 16.
Den 4: Sekce F (Q47–55) — Engel/Tornquist, elasticity. Skripta str. 26–37.
Den 5: Sekce G (Q56–76) — strukturální/redukovaný, identifikace, DMNČ. Skripta str. 17–24.
Den 6: Sekce H (Q77–114) produkce/náklady + sekce I (Q115–124) prognózy. Skripta str. 38–40.
Den 7: Cheatsheet + projít všech 36 řešených úloh + zkušební test.

~25 h celkem · ~3,5 h/den

Standard · 2–3 týdny

2–3 týdny — vyvážený

Optimální poměr pohody a důslednosti. Vždy „čte teorii, pak hned procvičí".

Týden 1: Sekce A–C (teorie + skripta). 1 sekce / 2 dny.
Týden 2: Sekce D–F + ovlnění multikolineární / autokorelační prakticky.
Týden 3: Sekce G–I + řešené testy + ústní příprava.
Po každé sekci: projít odpovídající otázky v Testu 11 a typed testu.
Konec týdne 2: průběžný kvíz — zkus odpovědět z hlavy na 10 náhodných Q.
Závěr týdne 3: cheatsheet + tahákové karty.

~30 h celkem · ~1,5 h/den

Komplet · 1 měsíc+

4+ týdny — důkladně

S klidem, vč. všech příkladů z skript. Žádný pojem ti neujde.

Týden 1: A (3 d) + B (4 d). Skripta str. 1–9 detailně, vč. autobazaru.
Týden 2: C + D. Sám si vypočti BMNČ z 2 dat.
Týden 3: E (3 d) — každý problém modelu zvlášť + F (4 d) — všechny TQ a elasticity vč. linearizace.
Týden 4: G + H — všechny vícerovnicové modely, identifikace, produkční a nákladové funkce.
Týden 5: I prognózy + opakování + plný test.
Pondělky: teorie (2 h) · úterky: skripta · středy: typed test · čtvrtky: Test 11 · pátky: opakování slovníčku.

~35–40 h celkem · ~1 h/den

Pozor — co je nejčastěji v testech (z poznámek "VIP" lektora)

BMNČ výpočet z matic 2×2 (skripta str. 8–9) — vždy v písemce
Dynamizace modelu ("posouvačka") — zpožděné proměnné, sestavení matic (str. 15)
Matice B a Γ ze zadaného modelu (str. 18) — "VIP !"
Identifikace rovnic simultánního modelu (str. 22)
Multikolinearita — z korelační matice rozhodnout (str. 10)
Elasticity + interpretace (cenová, křížová, příjmová) — str. 26–28
Tornquistovy funkce a linearizace — str. 32–35
Prognóza z matice multiplikátorů — str. 38–40

SEKCE A · Q1–10

A Základy ekonometrie

Definice, vědní disciplíny, stavba ekonometrického modelu, EKM vs EKMR, náhodná složka, čtyři typy verifikace, aplikace, dynamizace modelu. Sekce uvádí terminologii, na které stojí celý zbytek opory.

Z výkladu (Rybář) — skripta str. 1–6

Ekonometrie je aplikovaná disciplína propojující ekonomii, matematiku a statistiku. Při výuce se opírá o praktický příklad „autobazar": jak modelovat cenu auta na základě počtu najetých km, stáří a síly motoru.

Standardní data mají tuto strukturu — sloupec y je vysvětlovaná proměnná (cena auta), matice X obsahuje jednotkový vektor a vysvětlující proměnné:

Cena auta (y)	$x_1$ (jedn. vektor)	$x_2$ km	$x_3$ stáří	$x_4$ motor
180 000	1	30 000	3	1,8
130 000	1	90 000	5	1,1
160 000	1	60 000	4	1,4

Z dat se metodou BMNČ odhadnou parametry $\beta$, vznikne např. rovnice $y = 200\,x_1 - 3\,x_2 - 20\,x_3 + 60\,x_4 + u$. (skripta str. 2–3)

Uveďte definici ekonometrie a čím se zabývá

Ekonometrie je věda, která na základě znalostí ekonomie, matematiky a statistiky:

kvantifikuje vztahy mezi ekonomickými veličinami (např. o kolik se zvýší spotřeba mléka ceteris paribus, pokud se zvýší příjem o 1 tis. Kč);
vytváří modely pro prognózu vývoje zkoumaného jevu (např. předpověď spotřeby mléka na rok 2016).

Z jakých vědních disciplín využívá ekonometrie poznatky?

Ekonomie (mikroekonomie, makroekonomie)
Matematika
Statistika

Co z těchto disciplín ekonometrie využívá?

Ekonomie — např. posouzení interpretovatelnosti vypočtených parametrů při ekonomické verifikaci.
Statistika — např. odhad vhodného tvaru funkce, statistická verifikace ($R^2$, t-testy, F-test).
Matematika — např. matematická verifikace, práce s maticemi, výpočet pružností pomocí derivací.

Jmenujte jednotlivé kroky konstrukce ekonometrického modelu

Ekonomická teorie — studium dokumentů
Tvorba ekonomického modelu (EKM)
Tvorba ekonometrického modelu (EKMR)
Sběr dat
Odhad parametrů ekonometrického modelu
Ekonomická verifikace modelu
Statistická a ekonometrická verifikace modelu
Aplikace modelu nebo jeho zamítnutí (vrací postup k bodu 1)

Z výkladu

Marián v hodině probírá všech 8 kroků na příkladu autobazaru — od EKM ve tvaru $y = f(x_1, x_2, x_3, x_4)$ až po finální verifikaci. (skripta str. 2–6)

Čím se liší ekonometrický model od ekonomického modelu?

Ekonomický model (EKM) má pouze tvar funkčního zápisu a neobsahuje náhodnou složku $u_t$:

EKM$$y = f(x_1, x_2, x_3, x_4)$$

Ekonometrický model (EKMR) má tvar rovnice s rozepsanými koeficienty (strukturálními parametry) $\gamma$ a proměnnými $x$ — obsahuje náhodnou složku $u_t$:

EKMR$$y = \gamma_1 x_1 + \gamma_2 x_2 + \gamma_3 x_3 + u_t$$

Příklad — autobazar (skripta str. 3)

Po odhadu BMNČ dostaneme např. $y = 200\,x_1 - 3\,x_2 - 20\,x_3 + 60\,x_4 + u$. Parametr $\beta_3 = -20$ se interpretuje: „Zvýší-li se stáří automobilu o 1 rok, sníží se cena o 20 tis. Kč, ceteris paribus."

Co je to náhodná (reziduální) složka modelu?

Je to rozdíl mezi skutečnou (naměřenou) hodnotou závisle proměnné $y$ a teoretickou hodnotou $\hat{y}$, která vznikne dosazením predeterminovaných proměnných do rovnice modelu:

Reziduum$$u = y - \hat{y}$$

Z výkladu (skripta str. 3)

„O kolik se model netrefí." Nejlepší přímka je ta, která má nejmenší součet čtverečků reziduí $u^2$ — proto BMNČ.

Co je obsahem náhodné složky $u$ (proč v modelu vzniká „chyba" $u$)?

Náhodná složka $u$ obsahuje:

vlivy nezahrnuté do modelu (nezahrnuté vysvětlující proměnné);
chyby v datech (chyby měření a sběru);
chyby plynoucí z nevhodného funkčního tvaru modelu (např. použijeme přímku místo správnější mocninné funkce).

Co je obsahem verifikace EKM a k čemu slouží?

Existují čtyři typy verifikace:

Matematická verifikace — posouzení matematické správnosti výpočtu parametrů. Po dosazení průměrné hodnoty $\bar{y}$ a průměrných hodnot všech vysvětlujících proměnných do rovnice se musí obě strany rovnat.
Ekonomická verifikace — posouzení směru a intenzity působení vysvětlujících proměnných (správnost znamének a velikost číselných hodnot).
Statistická verifikace
- $R^2$ — koeficient determinace: z kolika % je $y$ vysvětleno pomocí všech vysvětlujících proměnných;
- t-testy — statistická významnost jednotlivých parametrů;
- F-test — celková vhodnost modelu.
Ekonometrická verifikace
- autokorelace reziduí (nemělo by docházet k „samoovlivnění odchylek");
- heteroskedasticita (nemělo by docházet k „různorozptylovosti");
- normalita reziduí (rezidua by měla mít přibližně normální rozdělení).

Jmenujte tři základní oblasti aplikace EKM

aplikace pro prognózu do budoucna;
aplikace při kvantifikaci vztahů mezi ekonomickými veličinami;
aplikace pro simulační propočty.

Q10

Jakým způsobem lze model dynamizovat?

Model lze dynamizovat:

zahrnutím zpožděných proměnných (např. $y_{t-1}$, $x_{2,(t-1)}$);
vyjádřením proměnných v podobě postupných diferencí nebo relativních odchylek;
zahrnutím časového vektoru;
zahrnutím dummy proměnné.

VIP — bývá často v testu (skripta str. 14–15)

„Posouvačka" — typický test: deklaruj matici $X$ a vektor $y$ pro $y_t = f(x_{1t}, x_{2,(t-2)}, x_{3,(t-1)})$. Nejprve se vytvoří zpožděné sloupce, řádky bez kompletních dat (období 1, 2) se vyškrtnou.

SEKCE B · Q14–17 · Q21–22

B Lineární regresní model (LRM)

Plná specifikace LRM, obsah modelu (endogenní/exogenní/predeterminované proměnné, strukturální a stochastické parametry), specifikační předpoklady, projekční matice $Q$ a $M$, vlastnosti odhadu (nestranný, nejlepší, konzistentní) a přílohy o geometrii BMNČ a kovariační matici.

Z výkladu (Rybář) — skripta str. 2–3, 17

Standardní zápis dat pro LRM používá vektor $y$ (vysvětlovaná proměnná, jeden sloupec) a matici $X$ (vysvětlující proměnné, více sloupců — první sloupec bývá jednotkový vektor pro konstantu).

Konvence označení parametrů:

před $x$ (exogenní) píši $\gamma$;
před $y$ (endogenní) píši $\beta$;
nad parametr píšeme hvězdičky podle zpoždění — $\beta^*$ pro $y_{t-1}$, $\beta^{**}$ pro $y_{t-2}$ atd. (skripta str. 17)

Označení vysvětlujících proměnných v EKMR podle role:

vysvětlovaná $y_{1t}, y_{2t}$ (vlevo);
endogenní $y$ nezpožděná na pravé straně;
exogenní $x_{1t}, x_{2t}, x_{3t}$;
zpožděné endogenní $y_{1,(t-1)}, y_{2,(t-1)}$;
náhodné $u_{1t}, u_{2t}$.

Q14

Zapište plnou specifikaci LRM (Lineárního Regresního Modelu)

LRM — algebraický zápis$$y_t = \gamma_1 x_{1t} + \gamma_2 x_{2t} + \dots + \gamma_k x_{kt} + u_t$$

LRM — maticový zápis$$y = X \gamma + u$$

Kde:

$u_t$ — náhodná proměnná v čase $t$;
$\gamma_1, \dots, \gamma_k$ — parametry exogenních proměnných $x_1, \dots, x_k$;
$x_1$ je obvykle jednotkový vektor (pro odhad konstanty $\gamma_1$).

Q15

Co je obsahem LRM? (z čeho je složen)

Proměnné:

endogenní — značeny $y$; jsou modelem většinou vysvětlovány, ale mohou být i vysvětlující;
exogenní — značeny $x$; vždy vysvětlující;
predeterminované — soubor exogenních proměnných, zpožděných exogenních proměnných a zpožděných endogenních proměnných;
náhodná proměnná $u_t$ — stochastická proměnná, reziduum, odchylka („o kolik se model zmýlil"); obsahuje vlivy proměnných nezahrnutých do modelu, chyby v měření a zkreslení z volby nevhodné funkce.

Parametry:

strukturální parametry — vyjadřují vztah mezi predeterminovanou a endogenní proměnnou. Interpretace: změní-li se $i$-tá predeterminovaná proměnná o 1 jednotku, endogenní proměnná se změní o $\gamma$ (resp. $\beta$) jednotek.
- $\gamma$ — před predeterminovanými proměnnými;
- $\beta$ — před endogenními proměnnými.
stochastické parametry
- $E(u)$ — střední hodnota (průměr odchylek);
- $D^2(u)$ — rozptyl (rozptýlení odchylek).

Q16

Jmenujte specifikační předpoklady modelu (co musím dodržet při stavbě modelu)

Neopomenutí podstatné vysvětlující proměnné;
Vypuštění irelevantních vysvětlujících proměnných;
Volba správné funkční formy modelu;
Stabilní odhadnuté parametry (časová invariantnost) — parametry se nemění v čase.

Q17

Jmenujte předpoklady LRM (předpoklady o náhodné složce)

Specifikační předpoklady:

Neopomenutí podstatné vysvětlující proměnné;
Vypuštění irelevantních vysvětlujících proměnných;
Volba správné funkční formy modelu;
Stabilní odhadnuté parametry (časová invariantnost).

Další předpoklady (o náhodné složce):

Nepřítomnost autokorelace reziduí: korelace mezi $u_i$ a $u_j$ je rovna nule.
$$\operatorname{Cor}(u_i, u_j) = 0, \quad i \neq j$$
Homoskedasticita — rozptyl náhodné složky je konstantní a konečný:
$$\operatorname{Var}(u_t) = \sigma^2 < \infty$$
Normalita reziduí — náhodná složka má normální rozdělení;
Nulová střední hodnota: $E(u_t) = 0$.

Q21

Co je to projekční matice $Q$ a $M$? Jaké mají vlastnosti?

Projekční matice $Q$ mapuje (převádí) vektor pozorovaných hodnot $y$ na vektor teoretických hodnot $\hat{y}$:

Matice $Q$$$Q = X (X^T X)^{-1} X^T, \qquad \hat{y} = Q \cdot y$$

Projekční matice $M$:

Matice $M$$$M = E - Q, \qquad u = M \cdot y$$

kde $E$ je jednotková matice.

Vlastnosti $Q$ a $M$:

symetrické (transponovaná matice je rovna původní): $Q^T = Q$, $M^T = M$;
idempotentní (násobení matice samou sebou dává tutéž matici): $Q \cdot Q = Q$, $M \cdot M = M$;
$Q$ a $M$ jsou navzájem kolmé: $Q \cdot M = 0$.

Q22

Definujte pojmy nejlepší, nestranný a konzistentní odhad

Nestranný — odhad je nestranný, pokud jeho střední hodnota (průměr) je rovna hledanému parametru. Nedochází tedy k nadhodnocení ani podhodnocení.
$$E(\hat{\gamma}) = \gamma$$
Nejlepší — odhad je nejlepší, pokud má nejmenší rozptyl ze všech možných nestranných odhadů.
Konzistentní — odhad je konzistentní, pokud při rostoucím počtu pozorování konverguje k hodnotě odhadovaného parametru:
$$\lim_{n \to \infty} \hat{\gamma}_n = \gamma$$

Souvislost

BMNČ poskytuje za splnění všech předpokladů LRM odhady nestranné, nejlepší a konzistentní (BLUE — Best Linear Unbiased Estimator). Při porušení homoskedasticity nebo autokorelace odhad zůstává nestranný a konzistentní, ale přestává být nejlepší.

B+

Příloha 1 · Geometrická interpretace a vlastnosti BMNČ

Pokud BMNČ použijeme na model s jednotkovým vektorem $x_1$ (konstantou), platí pro odhad následující geometrické vlastnosti:

Vektory $y$ a $\hat{y}$ mají stejné součty složek: $\sum y_t = \sum \hat{y}_t$;
Vektor $u$ má nulový součet svých složek: $\sum u_t = 0$;
Vektor $u$ je kolmý na všechny sloupce matice $X$: $X^T u = 0$;
Vektory $u$ a $\hat{y}$ jsou navzájem kolmé: $\hat{y}^T u = 0$.

Interpretace

BMNČ projektuje pozorovaný vektor $y$ do podprostoru, který je generovaný sloupci matice $X$. Reziduální vektor $u$ je kolmý projekční zbytek — proto je ortogonální jak na sloupce $X$, tak na samotnou projekci $\hat{y}$.

B+

Příloha 2 · Kovariační matice odhadu

Prvky na diagonále kovariační matice jsou rozptyly strukturálních parametrů $S_{ii}$, které se používají při testování významnosti parametrů pomocí t-testů (viz Q25 v sekci E).

Kovariační matice$$\operatorname{Cov}(\hat{\gamma}) = \overline{S_u^2} \cdot (X^T X)^{-1}$$

Kde:

$\overline{S_u^2}$ — korigovaný reziduální rozptyl: $\overline{S_u^2} = \dfrac{\sum (y_t - \hat{y}_t)^2}{n - p}$;
$(X^T X)^{-1}$ — testovací matice, používaná při t-testech;
diagonála $S_{ii}$ — rozptyl $i$-tého odhadnutého parametru;
$S_{\beta_i} = \sqrt{S_{ii}}$ — standardní (směrodatná) chyba parametru.

Příklad (skripta str. 13)

Zadáno $\overline{S_u^2} = 0{,}5$ a diagonála $(X^T X)^{-1} = \operatorname{diag}(8;\,4{,}5;\,18)$. Pak rozptyly parametrů jsou:

$S_{11} = 0{,}5 \cdot 8 = 4 \Rightarrow S_{\beta_1} = 2$
$S_{22} = 0{,}5 \cdot 4{,}5 = 2{,}25 \Rightarrow S_{\beta_2} = 1{,}5$
$S_{33} = 0{,}5 \cdot 18 = 9 \Rightarrow S_{\beta_3} = 3$

Z parametrů $\beta = (5;\,3;\,-1)$ a tabulkové hodnoty $t_{0{,}1} = 2{,}45$ získáme: $t_1 = 2{,}5$ (Významný), $t_2 = 2$ (Nevýznamný), $t_3 = 0{,}33$ (Nevýznamný).

SEKCE C · Q18–20

C Běžná metoda nejmenších čtverců (BMNČ)

Kritérium BMNČ, vzorec a deklarace matic, maticový zápis LRM. Sekce je doplněna podrobnými ručními výpočty z příkladů Mariána Rybáře — transpozice, součin, inverze 2×2, kompletní odhad parametrů.

Z výkladu (Rybář) — skripta str. 3, 8, 9

BMNČ je nejdůležitější metoda celé základní ekonometrie. Hledá takové parametry $\beta$, které minimalizují součet čtverců reziduí:

Kritérium BMNČ$$\min_{\beta} \sum_{t=1}^{n} (y_t - \hat{y}_t)^2 = \min_{\beta} \sum_{t=1}^{n} u_t^2$$

Hlavní vzorec BMNČ používaný v testech (musíš ho umět nazpaměť):

Vzorec BMNČ$$\boxed{\,\beta = (X^T \cdot X)^{-1} \cdot X^T \cdot y\,}$$

Připomenutí práce s maticemi (skripta str. 8):

Transpozice — prohodím řádky za sloupce: $X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow X^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
Inverze matice 2×2 — prohodím hlavní diagonálu, u vedlejší změním znaménko a vydělím determinantem: $$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
Pro inverzi 3×3 a větší se v testu používá kalkulačka CASIO 570 (skripta str. 20).

Q18

Co je to BMNČ a co je kritériem BMNČ (načrtněte graficky)?

Běžná metoda nejmenších čtverců se používá k odhadu parametrů:

jednorovnicových modelů;
prostých a rekurzivních vícerovnicových modelů;
přesně identifikovaných simultánních modelů.

Tato metoda poskytuje nejlepší, nestranné a konzistentní odhady parametrů. Podstatou je nalezení parametrů, které minimalizují součet čtverců odchylek teoretických hodnot vysvětlované proměnné od jejich skutečných hodnot.

Kritérium$$\min_{\beta} \sum_{t=1}^{n} (y_t - \hat{y}_t)^2$$

Graficky (skripta str. 3)

Pozorovaná data $y_1, y_2, y_3$ leží mimo regresní přímku, na přímce jsou teoretické hodnoty $\hat{y}_1, \hat{y}_2, \hat{y}_3$. Svislé úsečky mezi nimi jsou rezidua $u_t$. BMNČ minimalizuje součet jejich čtverců — proto „nejmenší čtverce".

Q19

Zapište vzorec BMNČ a deklarujte obsah a rozměry použité matice a vektorů

BMNČ$$\beta = (X^T \cdot X)^{-1} \cdot X^T \cdot y$$

Obsah a rozměry:

Symbol	Obsah	Rozměr
$y$	vektor pozorovaných hodnot vysvětlované proměnné	$[n \times 1]$
$X$	matice vysvětlujících proměnných (1. sloupec = jednotkový vektor pro konstantu)	$[n \times k]$
$X^T$	transpozice matice $X$	$[k \times n]$
$X^T X$	součin (čtvercová symetrická matice)	$[k \times k]$
$(X^T X)^{-1}$	inverzní matice (testovací matice)	$[k \times k]$
$\beta$	vektor odhadnutých parametrů	$[k \times 1]$

Kde $n$ — počet pozorování, $k$ — počet parametrů (vč. konstanty).

Q20

Zapište LRM v maticové podobě, deklarujte obsah a rozměry použitých matic a vektorů

LRM — maticový zápis$$y = X \gamma + u$$

Rozměry matic a vektorů:

$y = [n \times 1]$ — vektor pozorovaných hodnot vysvětlované proměnné;
$X = [n \times k]$ — matice vysvětlujících (predeterminovaných) proměnných;
$\gamma = [k \times 1]$ — vektor strukturálních parametrů;
$u = [n \times 1]$ — vektor reziduí (náhodná složka).

Rozepsaný tvar:

$$\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x_{2,1} & \cdots & x_{k,1} \\ 1 & x_{2,2} & \cdots & x_{k,2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{2,n} & \cdots & x_{k,n} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \vdots \\ \gamma_k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}$$

C+

Příklad 1 · BMNČ se zadanou testovací maticí (skripta str. 8)

VIP² — bývá v testu

Tento typ příkladu („výpočet s předem zadanou $(X^TX)^{-1}$ a $X^Ty$") se objevuje v zápočtech velmi často.

Zadání: EKMR model má tvar $y_t = \beta_1 + \beta_2 \cdot x_{2t} + u_t$. Jaký bude výsledný tvar modelu, pokud znáte:

$$(X^T X)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad X^T y = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\;?$$

Řešení. Dosadíme přímo do vzorce BMNČ:

$$\beta = (X^T X)^{-1} \cdot X^T y = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}$$

Tedy $\beta_1 = 7$, $\beta_2 = 9$. Dosadíme do rovnice modelu:

Výsledek$$\boxed{\,y_t = 7 + 9 \cdot x_{2t} + u_t\,}$$

C+

Příklad 2 · Plný ruční výpočet BMNČ (skripta str. 9)

Zadání: $y_t = \beta_1 + \beta_2 \cdot x_{2t} + u_t$, podkladová data:

$$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad y = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Krok 1 — transpozice $X^T$:

$$X^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Krok 2 — součin $X^T \cdot X$:

$$X^T X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 20 \end{pmatrix}$$

Krok 3 — inverze $(X^T X)^{-1}$ (matice 2×2):

$$(X^T X)^{-1} = \frac{1}{2 \cdot 20 - 6 \cdot 6} \cdot \begin{pmatrix} 20 & -6 \\ -6 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 20 & -6 \\ -6 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -\tfrac{3}{2} \\ -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Krok 4 — součin $X^T \cdot y$:

$$X^T y = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 16 \end{pmatrix}$$

Krok 5 — výpočet $\beta$:

$$\beta = \begin{pmatrix} 5 & -\tfrac{3}{2} \\ -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 - 24 \\ -\tfrac{15}{2} + \tfrac{16}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Tedy $\beta_1 = 1$, $\beta_2 = \tfrac{1}{2}$.

Výsledek$$\boxed{\,y_t = 1 + \tfrac{1}{2} \cdot x_{2t} + u_t\,}$$

Bonus — výpočet reziduí (skripta str. 7)

Pro model $y_t = 2 + 0{,}1 x_{2t} + 1{,}2 x_{3t} - 0{,}01 x_{4t} + u_t$ s daty roku 1997 ($y = 10{,}3$, $x_2 = 5{,}4$, $x_3 = 7$, $x_4 = 26{,}4$):

$\hat{y}_{1997} = 2 + 0{,}1 \cdot 5{,}4 + 1{,}2 \cdot 7 - 0{,}01 \cdot 26{,}4 = 10{,}676$
$u_{1997} = y - \hat{y} = 10{,}3 - 10{,}676 = -0{,}376$

Skutečná hodnota byla v roce 1997 o 0,376 nižší než teoretická.

SEKCE D · Q23–31

D Statistická verifikace

Koeficient determinace $R^2$ a korigovaný $\overline{R}^2$, t-test významnosti parametrů, F-test celkové vhodnosti modelu, p-hodnota a hypotézy, interval spolehlivosti, vztahy mezi součty čtverců RSS / ESS / TSS.

Z výkladu (Rybář, skripta str. 4 a 11–14)

Statistická verifikace ověřuje matematicko-statistickou kvalitu odhadnutého modelu. Skládá se ze čtyř pilířů:

Koeficient determinace $R^2$ – říká, z kolika % je vysvětlovaná proměnná $y$ vysvětlena pomocí všech vysvětlujících proměnných.
Korigovaný (adjustovaný) $\overline{R}^2$ – penalizuje („trestá") nadbytečný počet proměnných v modelu.
t-testy – posouzení statistické významnosti jednotlivých parametrů (v Gretlu značeno hvězdičkami $*$, $**$, $***$).
F-test – posouzení celkové vhodnosti modelu jako celku.

Q23

Co je obsahem ekonomické verifikace modelu?

Ekonomická verifikace spočívá v posouzení směru a intenzity působení vysvětlujících proměnných na vysvětlovanou proměnnou (správnost znamének a velikost číselných hodnot).

V testu chtějí slyšet„směr a intenzita působení vysvětlujících proměnných na vysvětlovanou proměnnou".

Q24

K čemu slouží t-test? K čemu slouží F-test? Jaký je mezi nimi rozdíl?

t-test slouží k testování statistické významnosti jednotlivých strukturálních parametrů.

F-test slouží k testování statistické významnosti modelu jako celku.

Rozdíl: t = jednotlivé parametry, F = celkový model

Q25

Popište postup testování významnosti odhadnutých parametrů (skripta str. 13)

výpočet testovací matice $(X^T \cdot X)^{-1}$
výpočet korigovaného reziduálního rozptylu $\overline{S_u^2}$
výpočet rozptylu odhadnutých parametrů $S_{ii} = \overline{S_u^2} \cdot (X^T X)^{-1}_{ii}$
výpočet standardní chyby odhadnutých parametrů $S_{\beta i} = \sqrt{S_{ii}}$
výpočet testovacího kritéria (t-hodnoty) $t = |\gamma_i| / S_{\beta i}$
porovnání vypočtené t-hodnoty s tabulkovou hodnotou $t_{\alpha}$ na zvolené hladině významnosti a počtu stupňů volnosti

Testovací kritérium t $$t = \frac{|\gamma_i|}{S_{\beta i}}, \qquad S_{\beta i} = \sqrt{S_{ii}}, \qquad S_{ii} = \overline{S_u^2} \cdot (X^T X)^{-1}_{ii}$$

Příklad zápočtový VIP (skripta str. 13)

Zadáno: $(X^T X)^{-1}$ s diagonálou $(8;\;4{,}5;\;18)$, $\overline{S_u^2} = 0{,}5$, model $y_t = 5 x_{1t} + 3 x_{2t} - x_{3t} + u_t$, $t_{\text{TAB}(0{,}1)} = 2{,}45$.

Proměnná	$X_1$	$X_2$	$X_3$	Poznámka
Parametr $\gamma_i$	5	3	−1	z rovnice
Rozptyl $S_{ii}$	4	2,25	9	$= 0{,}5 \cdot \text{diag}$
Sm. chyba $S_{\beta i}$	2	1,5	3	$= \sqrt{S_{ii}}$
$t = \|\gamma_i\|/S_{\beta i}$	2,5	2,0	0,33
$t_{\text{TAB}}$	2,45	2,45	2,45
Vyhodnocení	V	N	N	V = významný, N = nevýznamný

Pozn.: čím vyšší $t$, tím je proměnná významnější. V Gretlu se významnost značí hvězdičkami $*$, $**$, $***$.

Příklad M2/8/15 (skripta str. 14) — VIP², bývá často v testu

Kritická hodnota $t_{\alpha = 0{,}05} = 2{,}1199$. Ověřte významnost čtyř odhadnutých parametrů.

$\gamma_i$	$S_{\beta i}$	$t = \|\gamma_i\|/S_{\beta i}$	Porovnání	Závěr
0,362	2,03	0,178	$< 2{,}1199$	Nevýznamný
1,05	0,528	1,989	$< 2{,}1199$	Nevýznamný
−0,85	0,062	13,710	$> 2{,}1199$	Významný
0,063	0,03	2,100	$< 2{,}1199$	Nevýznamný

Q26

Co je interval spolehlivosti (např. 95 %) a jak jej lze použít k určení významnosti parametru?

Je to interval, v němž se bude skutečná hodnota parametru při opakovaných výběrech nacházet s určitým stupněm spolehlivosti (např. 95 %). Pokud interval spolehlivosti obsahuje nulu, potom je parametr statisticky nevýznamný (analogie t-testu).

Vzorec IS $$IS = \langle\; \gamma_{ii} - t_{\alpha} \cdot S_{\beta i} \;;\; \gamma_{ii} + t_{\alpha} \cdot S_{\beta i} \;\rangle$$

Pravidlo „nula v intervalu"0 ∈ IS ⇒ parametr je nevýznamný (nezamítám $H_0$).

Q27

Co je to p-hodnota a k čemu se používá?

p-hodnota je hodnota ze software (Gretl), která umožňuje rozhodnout, zda platí nulová hypotéza $H_0$, či alternativní hypotéza $H_1$. Nachází se v intervalu $\langle 0;\,1 \rangle$.

Pravidlo rozhodování $$\text{pokud } p < \alpha \;(0{,}05) : \text{zamítám } H_0 \Rightarrow \text{platí } H_1$$ $$\text{pokud } p > \alpha \;(0{,}05) : \text{nezamítám } H_0 \Rightarrow \text{platí } H_0$$

Nejčastější hypotézy

t-test (chceme $p < 0{,}05$):

$H_0$: parametr není statisticky významný
$H_1$: parametr je statisticky významný

F-test (chceme $p < 0{,}05$):

$H_0$: model není vhodný jako celek
$H_1$: model je vhodný jako celek

Všechny testy při ekonometrické verifikaci (Breusch–Godfrey, Breusch–Pagan, White, Pesaran–Taylor, Jarque–Bera) — chceme $p > 0{,}05$:

$H_0$: předpoklad modelu není porušen
$H_1$: předpoklad modelu je porušen

DůležitéU t-testu a F-testu chceme nízké p (zamítáme „špatnou" H₀). U ekonometrických testů (BG, BP, White, PT, JB) chceme naopak vysoké p (nechceme porušit předpoklad).

Q28

Co je koeficient determinace, jak lze interpretovat + vzorec? (skripta str. 11)

Značí se $R^2$. Nachází se v intervalu $\langle 0\,\%;\,100\,\% \rangle$. Používá se k posouzení shody modelu s daty. Říká, z kolika procent je vysvětlovaná proměnná $y$ v daném modelu vysvětlena pomocí všech vysvětlujících proměnných.

Vzorec $R^2$ $$R^2 = 1 - \frac{S_u^2}{S_y^2} = 1 - \frac{\text{RSS}}{\text{TSS}}$$ $$S_u^2 = \frac{\sum_{t=1}^{n}(y_t - \hat{y}_t)^2}{n} \;\;\text{(reziduální rozptyl)} \qquad S_y^2 = \frac{\sum_{t=1}^{n}(y_t - \bar{y})^2}{n} \;\;\text{(celkový rozptyl)}$$

Příklad výpočtu (skripta str. 11)

Model $y_t = 3 + 2 x_{2t} + u_t$ na třech pozorováních:

$X_1$	$X_2$	$y$	$\hat{y}$
1	1	6	5
1	2	5	7
1	4	10	11

Průměr: $\bar{y} = (6+5+10)/3 = 7$

$S_u^2 = \dfrac{(6-5)^2 + (5-7)^2 + (10-11)^2}{3} = \dfrac{6}{3} = 2$

$S_y^2 = \dfrac{(6-7)^2 + (5-7)^2 + (10-7)^2}{3} = \dfrac{14}{3} \approx 4{,}66$

$R^2 = 1 - 2/4{,}66 = 0{,}57 = 57\,\%$ → $y$ je vysvětleno pomocí $x$ pouze ze 57 %.

Q29

Co je korigovaný koeficient determinace, jak lze interpretovat + vzorec? (skripta str. 12)

Značí se $\overline{R}^2$. Na rozdíl od klasického $R^2$ penalizuje („trestá") nadbytečný počet proměnných v modelu a používá se tedy při rozhodování, zda zařadit další proměnnou do modelu. Jeho hodnota je zpravidla nižší než hodnota $R^2$.

Vzorec $\overline{R}^2$ $$\overline{R}^2 = 1 - (1 - R^2) \cdot \frac{n - 1}{n - p}$$

kde $n$ = počet pozorování (stupňů volnosti), $p$ = počet odhadovaných parametrů.

Příklad navazující na Q28

$R^2 = 0{,}57$, $n = 3$, $p = 2$:

$\overline{R}^2 = 1 - (1 - 0{,}57) \cdot \dfrac{3-1}{3-2} = 1 - 0{,}43 \cdot 2 = 0{,}14 \approx 16\,\%$

Po penalizaci za nadbytečné proměnné vychází hodnota výrazně nižší než $R^2 = 57\,\%$.

Korigovaný reziduální rozptyl (souvisí) $$\overline{S_u^2} = \frac{\sum_{t=1}^{n}(y_t - \hat{y}_t)^2}{n - p} = \frac{\text{RSS}}{n - p}$$

Q30

Co je reziduální součet čtverců (RSS)?

Je to hodnota součtu čtverců odchylek skutečných a teoretických hodnot, kterou minimalizujeme při odhadu parametrů regresního modelu pomocí běžné metody nejmenších čtverců (BMNČ). Graficky jde o ten nežádoucí součet modrých čtverců kolem regresní přímky.

Vzorec RSS $$\text{RSS} = \sum_{t=1}^{n}(y_t - \hat{y}_t)^2 = \sum_{t=1}^{n} u_t^2$$

Q31

Jaký je vztah mezi RSS, ESS a TSS?

Úplný (celkový) součet čtverců se rozkládá na vysvětlenou a reziduální složku:

Rozklad součtů čtverců $$\text{TSS} = \text{ESS} + \text{RSS}$$ $$\underbrace{\sum_{t=1}^{n}(y_t - \bar{y})^2}_{\text{TSS}} = \underbrace{\sum_{t=1}^{n}(\hat{y}_t - \bar{y})^2}_{\text{ESS}} + \underbrace{\sum_{t=1}^{n}(y_t - \hat{y}_t)^2}_{\text{RSS}}$$

TSS (Total Sum of Squares) = úplný (celkový) součet čtverců — variabilita $y$ kolem průměru.
ESS (Explained Sum of Squares) = vysvětlený součet čtverců — variabilita zachycená modelem.
RSS (Residual Sum of Squares) = reziduální (nevysvětlený) součet čtverců.

Vztah s $R^2$ $$R^2 = \frac{\text{ESS}}{\text{TSS}} = 1 - \frac{\text{RSS}}{\text{TSS}}$$

SEKCE E · Q11–13, 32–46

E Problémy modelu (ekonometrická verifikace)

Multikolinearita a dummy proměnné, autokorelace reziduí (DW, BG), heteroskedasticita (BP, White, Pesaran–Taylor), normalita reziduí (Jarque–Bera), důsledky špatné specifikace modelu, Chowův test stability parametrů.

Z výkladu (Rybář, skripta str. 5–6 a 10)

Ekonometrická verifikace ověřuje předpoklady kladené na náhodnou složku $u_t$ a strukturu modelu:

autokorelace reziduí – nemělo by docházet k „samoovlivnění odchylek" v čase,
heteroskedasticita – nemělo by docházet k „různorozptylovosti" reziduí,
normalita reziduí – rezidua by měla mít přibližně normální rozdělení,
multikolinearita – mezi vysvětlujícími proměnnými by neměla být silná závislost,
stabilita parametrů v čase (časová invariantnost).

U všech testů ekonometrické verifikace (BG, BP, White, PT, JB, Chow) platí pravidlo: chceme $p > 0{,}05$ = předpoklad není porušen.

Q11

Co je to multikolinearita? (skripta str. 10)

Je to nežádoucí závislost mezi dvěma či více vysvětlujícími proměnnými na pravé straně rovnice.

Vysokou multikolinearitu identifikujeme na základě korelační matice — párový korelační koeficient větší než $+0{,}8$ nebo menší než $-0{,}8$ signalizuje problém.

Při vysoké multikolinearitě nelze separovat vlivy jednotlivých vysvětlujících proměnných na vysvětlovanou proměnnou a koeficienty před jednotlivými proměnnými nelze dobře interpretovat.

Pozor (bývá v testu)Závislost mezi vysvětlovanou $y$ nalevo a vysvětlujícími $x$ napravo v rovnici nevadí a je naopak žádoucí! Multikolinearita se týká pouze závislostí mezi vysvětlujícími proměnnými.

Příklad M1/4/4 (skripta str. 10) — čtení korelační matice

Model $y_t = f(x_{1t}, x_{2t}, x_{3t}, x_{4t}, x_{5t})$ s korelační maticí:

	$y$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$
$y$	1
$x_2$	0,9	1
$x_3$	0,7	0,8	1
$x_4$	0,5	0,5	−0,3	1
$x_5$	0,1	0,7	0,85	−0,2	1

Multikolinearita je mezi $x_2$ a $x_3$ (0,8) a mezi $x_3$ a $x_5$ (0,85). Vysoké hodnoty u sloupce $y$ jsou naopak žádoucí.

Q12

Jak lze odstranit vysokou multikolinearitu? (skripta str. 10)

Vysokou multikolinearitu lze odstranit:

převedením jedné z korelovaných proměnných na postupné diference (následující hodnota − předchozí hodnota),
převedením na relativní odchylky (následující hodnota / předchozí hodnota),
vyloučením jedné z korelovaných proměnných z modelu,
nahrazením vektoru proměnné, která způsobuje multikolinearitu, tzv. dummy proměnnou (0/1),
vložením vektoru proměnné v normovaných odchylkách,
ignorováním multikolinearity — předpověď bude fungovat, ale nelze interpretovat jednotlivé parametry.

Z příkladu M1/4/4Správné odpovědi pro odstranění multikolinearity z nabídky: b, d, f, g, h (diference, vyloučení, dummy, relativní odchylky, normované odchylky).

Q13

Co je a k jakým účelům lze použít dummy proměnnou?

Je to uměle vytvořená proměnná, která nabývá hodnot pouze 0 a 1.

Tři hlavní možnosti použití:

Zachycení „šoku" v datech (např. krize, válka, COVID — rok s šokem = 1, ostatní = 0).
Odstranění multikolinearity — záporné hodnoty nahradím 0, kladné hodnoty 1.
Zachycení sezónnosti, např. u čtvrtletních dat (sledovaná sezóna — léto = 1, ostatní sezóny = 0).

Ukázka (skripta str. 10)

Hodnoty 9, 10, 8, 5, 11 → diference: +1, −2, −3, +6 → dummy (kladné = 1, záporné = 0): 1, 0, 0, 1.

Q32

Co je to autokorelace reziduí?

Autokorelace reziduí označuje situaci, kdy reziduální složka modelu $u_t$ je korelovaná (závislá) se svými předchozími hodnotami — chyby v předchozích letech ovlivňují chyby v následujících letech.

Definiční vztah $$\text{Cor}(u_t,\, u_{t-1}) \neq 0$$

(Při neporušeném předpokladu by mělo platit $\text{Cor}(u_i, u_j) = 0$ pro $i \neq j$.)

Z výkladu (skripta str. 5)„Když rezidua lítají náhodně kolem regresní přímky, je to OK. Pokud jsou systematicky uspořádaná (nejdřív skupina pod přímkou, pak nad ní), říká se tomu autokorelace reziduí — lítá to pořád si trochu výš nebo níž."

Q33

Popište postup detekce autokorelace reziduí pomocí DW testu (skripta str. 16)

Durbin–Watsonův test využívá statistiku založenou na rozdílech sousedních reziduí:

Vzorec DW $$DW = \frac{\sum_{t=2}^{n}(u_t - u_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n} u_t^2}$$

(Sčítá se od $t = 2$ — první reziduum nemá předchůdce.)

Vyhodnocení:

$DW \in \langle 0;\,4 \rangle$
$DW \in \langle 0;\,2 )$ → pozitivní autokorelace (čím blíž k 0, tím silnější)
$DW \approx 2$ → autokorelace není (ideální stav)
$DW \in ( 2;\,4 \rangle$ → negativní autokorelace (čím blíž k 4, tím silnější)

Příklad výpočtu DW (skripta str. 16)

Model $y_t = 3 + 2 x_{2t} + u_t$ s rezidui $u = (1,\;-2,\;-1)$:

$X_1$	$X_{2t}$	$y$	$\hat{y}$	$u$
1	1	6	5	+1
1	2	5	7	−2
1	4	10	11	−1

$DW = \dfrac{(-2 - 1)^2 + (-1 - (-2))^2}{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \dfrac{9 + 1}{1 + 4 + 1} = \dfrac{10}{6} = \mathbf{1{,}66}$

Závěr: $DW = 1{,}66$ je v intervalu $\langle 0;\,2)$, blízko k 2 → v modelu je mírná pozitivní autokorelace.

Q34

Popište postup detekce autokorelace reziduí pomocí BG testu (Breusch–Godfrey)

Hypotézy:

$H_0$: předpoklad autokorelace v modelu není porušen (autokorelace není přítomna)
$H_1$: předpoklad autokorelace v modelu je porušen (autokorelace je přítomna)

V sw Gretl získám p-hodnotu Breusch–Godfreyova testu, kterou porovnám s hladinou významnosti $\alpha$:

Pravidlo $$p < \alpha \Rightarrow \text{zamítám } H_0 \Rightarrow \text{v modelu je přítomna autokorelace reziduí}$$ $$p > \alpha \Rightarrow \text{nezamítám } H_0 \Rightarrow \text{autokorelace přítomna není (chceme!)}$$

Chceme $p > 0{,}05$

Q35

Co je příčinou autokorelace reziduí?

použití nevhodného tvaru funkce (např. lineárního tvaru, pokud je závislost nelineární),
špatná dynamizace modelu (nezahrnutí správných zpožděných proměnných mezi vysvětlující proměnné),
opomenutí podstatné proměnné v modelu.

Q36

Co je důsledkem výskytu autokorelace reziduí v modelu?

odhady parametrů jsou nestranné a konzistentní, avšak nejsou nejlepší,
dochází k systematickému nadhodnocování či podhodnocování prognózovaných hodnot,
statistické testy při verifikaci dávají zkreslené výsledky,
prognóza vychází nepřesně.

Q37

Jakým způsobem lze řešit autokorelaci reziduí?

Primárně řešením důvodů vzniku autokorelace (viz Q35):

změna funkčního tvaru modelu na správný tvar,
správná dynamizace modelu (zahrnutí správných zpožděných proměnných),
zahrnutí opomenuté podstatné proměnné do modelu.

Alternativně lze autokorelaci ignorovat a pro prognózu použít některou z metod, kterým autokorelace reziduí nevadí:

Cochranova–Orcuttova metoda,
Autoregresní (AR) model.

Q38

Co je to heteroskedasticita a důvody vzniku? (skripta str. 5)

Hetero-skedasticita = různo-rozptylovost. Znamená to, že rozptyl reziduí v čase není konstantní — chyby (rezidua) se v čase zvětšují nebo zmenšují (tvoří „kornout" kolem regresní přímky).

Naopak homoskedasticita = stejnorozptýlenost, rezidua lítají ve stejném pásu kolem regresní přímky (žádoucí stav).

Důvody vzniku:

strukturální změny v ekonomice, kdy se s časem zhoršuje přesnost prognózy,
technika sběru dat se postupně zlepšuje a chyba se zmenšuje (nebo se naopak zvětšuje).

Předpoklad LRM (porušený při heteroskedasticitě) $$\text{Var}(u_t) = \sigma^2 < \infty \;\; \text{(konstantní rozptyl)}$$

Q39

Co je důsledkem heteroskedasticity?

odhad parametrů je nestranný a konzistentní, avšak není nejlepší,
přesnost prognózy se s časem zhoršuje,
statistické testy při verifikaci dávají zkreslené výsledky.

Analogie s autokorelacíDůsledky heteroskedasticity i autokorelace jsou velmi podobné — v obou případech odhady ztrácejí vlastnost „nejlepší" (BLUE → BUE).

Q40

Jak lze heteroskedasticitu detekovat?

Existují 3 testy pro detekci heteroskedasticity:

Breusch–Paganův test (BP)
Whiteův test
Pesaran–Taylorův test (PT)

Q41

Popište způsob testování BP, Whiteova a Pesaran–Taylorova testu

Pro všechny tři testy postup probíhá stejně:

Hypotézy:

$H_0$: předpoklad heteroskedasticity v modelu není porušen (homoskedasticita)
$H_1$: předpoklad heteroskedasticity v modelu je porušen (heteroskedasticita)

V sw Gretl získám p-hodnotu příslušného testu (vychází pro všechny tři testy podobně). P-hodnotu porovnám s hladinou významnosti $\alpha$:

Pravidlo $$p < \alpha \Rightarrow \text{zamítám } H_0 \Rightarrow \text{v modelu je přítomna heteroskedasticita}$$ $$p > \alpha \Rightarrow \text{nezamítám } H_0 \Rightarrow \text{homoskedasticita (chceme!)}$$

Chceme $p > 0{,}05$ u všech tří testů

Q42

Jak lze řešit heteroskedasticitu?

Použijeme tzv. Metodu vážených nejmenších čtverců (MVNČ), která transformuje $y$ a $x$ takovým způsobem, že po transformaci jsou již rezidua homoskedastická.

MVNČ = Weighted Least Squares (WLS)

Q43

Jakým způsobem lze testovat normální rozdělení náhodné složky?

Pomocí Jarque–Bera testu (JB test).

Hypotézy:

$H_0$: předpoklad normality reziduí v modelu není porušen (rezidua jsou normální)
$H_1$: předpoklad normality reziduí v modelu je porušen (nenormalita)

V sw Gretl získám p-hodnotu pro Jarque–Bera test normality reziduí. P-hodnota se porovná s hladinou významnosti $\alpha$:

Pravidlo $$p < \alpha \Rightarrow \text{zamítám } H_0 \Rightarrow \text{v modelu je přítomna nenormalita reziduí}$$ $$p > \alpha \Rightarrow \text{nezamítám } H_0 \Rightarrow \text{normalita (chceme!)}$$

Chceme $p > 0{,}05$

Q44

Co je důsledkem nezahrnutí podstatné proměnné do modelu?

koeficient determinace $R^2$ vychází nižší než v případě zahrnutí podstatné proměnné,
F-test celkové vhodnosti modelu vychází hůře než v případě zahrnutí,
t-testy pro posouzení statistické významnosti parametrů nemusí identifikovat žádnou významnou proměnnou,
v modelu se může vyskytnout autokorelace reziduí,
prognóza do budoucna je méně přesná než v případě zahrnutí podstatné proměnné.

Q45

Co je důsledkem zahrnutí irelevantní (nadbytečné) proměnné do modelu?

t-test identifikuje statisticky nevýznamnou zařazenou proměnnou,
klasický koeficient determinace $R^2$ vychází vyšší než v případě nezahrnutí (protože $R^2$ s každou další proměnnou roste),
korigovaný (adjustovaný) koeficient determinace $\overline{R}^2$ vychází nižší než v případě nezahrnutí — penalizuje nadbytečné proměnné.

Symetrie s Q44$R^2$ vs. $\overline{R}^2$: $R^2$ vždy roste s počtem proměnných, $\overline{R}^2$ penalizuje nadbytečné proměnné — proto se používá k rozhodnutí, zda zahrnout další proměnnou.

Q46

K čemu slouží Chowův test stability parametrů? Co je důsledkem porušení předpokladu stability?

Slouží k testování stability odhadnutých parametrů v čase (tzv. časová invariantnost parametrů).

V případě porušení nejsou parametry v čase stabilní a předpověď do budoucna nemusí být přesná (klasický příklad: časová řada s daty před a po roku 1989, kde proběhla strukturální změna ekonomiky).

Hypotézy (analogicky s ostatními testy ekonometrické verifikace):

$H_0$: parametry jsou v čase stabilní (předpoklad není porušen)
$H_1$: parametry nejsou v čase stabilní (předpoklad je porušen — strukturální zlom)

Chceme $p > 0{,}05$

SEKCE F · Q47–55

F Spotřební funkce & elasticity

Spotřeba vs. poptávka, Engelovy a Tornquistovy funkce (1./2./3.), linearizace 1. TQ pro BMNČ, mocninná funkce a koeficienty pružnosti — přímá cenová, křížová cenová, příjmová.

Z výkladu (Rybář, str. 26)

Poptávka po statku y závisí v základním modelu na třech proměnných — ceně mého výrobku x_i, ceně cizího výrobku x_j a příjmu x_p. Pro každou z nich existuje vlastní koeficient pružnosti (elasticita):

Přímá cenová pružnost $$e_{ii} = \frac{\partial y}{\partial x_i} \cdot \frac{x_i}{\hat{y}}$$

Křížová cenová pružnost $$e_{ij} = \frac{\partial y}{\partial x_j} \cdot \frac{x_j}{\hat{y}}$$

Příjmová pružnost $$E_{i} = \frac{\partial y}{\partial x_p} \cdot \frac{x_p}{\hat{y}}$$

Tip: Pružnost říká, o kolik procent se změní vysvětlovaná proměnná, změní-li se vysvětlující proměnná o 1 %. Pružnosti umožňují srovnávat intenzitu vlivů různých proměnných i při odlišných jednotkách.

Q47

Jaký je rozdíl mezi spotřebou a poptávkou?

Poptávka je zamýšlené množství statků, které je spotřebitel ochoten nakoupit při určité ceně statku, ceně jiných statků, příjmu a dalších determinant.

Spotřeba je realizovaná poptávka — tedy množství, které spotřebitel skutečně nakoupil.

spotřební funkce terminologie

Q48

Jaký je rozdíl mezi odhadnutým parametrem a vypočtenou elasticitou (lineární tvar)? Jaký je tento rozdíl u mocninného tvaru?

Lineární funkční vztah: Odhadnutý parametr vyjadřuje, o kolik jednotek se změní endogenní proměnná, změní-li se predeterminovaná proměnná o jednotku (ceteris paribus). Elasticita vyjadřuje totéž, ale v procentech.

Mocninný tvar: Odhadnuté parametry jsou současně rovny koeficientům pružnosti — není třeba je dopočítávat ze vzorce s derivacemi.

Mocninná funkce $$y_t = \beta_0 \cdot x_i^{\beta_1} \cdot x_j^{\beta_2} \cdot x_p^{\beta_3} \cdot u_t \quad\Rightarrow\quad \beta_1 = e_{ii},\; \beta_2 = e_{ij},\; \beta_3 = E_i$$

VIP mocninná fce

Q49

Proč je vhodné u vztahu mezi spotřebou a příjmem použít nelineární funkční vztah?

Lineární funkce vyjadřuje neomezený růst spotřeby v závislosti na příjmu, což neodpovídá skutečnému chování — při vyšších příjmech se spotřeba již nezvyšuje (jev nasycenosti).

V praxi je proto funkce většinou nasycená (např. 1. nebo 2. Tornquistova funkce) a má nelineární tvar.

Q50

Jak se nazývají spotřební funkce, ve kterých je vysvětlující proměnnou příjem? Jaké jsou požadavky? Jaké z těchto funkcí znáte?

Tyto funkce se nazývají Engelovy funkce, jejichž podmnožinou jsou Tornquistovy funkce (TQ).

Požadavky na Engelovy funkce:

Minimální příjem — existuje počáteční úroveň příjmu, od kterého začíná spotřeba (platí pro 2. a 3. TQ).
Nasycenost — od určité úrovně příjmu se spotřeba již nezvyšuje (platí pro 1. a 2. TQ).
Nezáporná spotřeba — nelze koupit záporné množství statků (platí pro všechny tři TQ funkce).

klíčové Engel Tornquist

Q51

Zapište funkční tvar TQ funkcí. V jakém intervalu se pohybují příjmové elasticity? Pro jaké typy statků se používají?

1. Tornquistova funkce — nezbytné statky (chléb, voda, mléko, máslo) $$y_t = a_1 \cdot \frac{x_p}{x_p + a_2} + u_t$$

Rostoucí konkávní křivka, která se asymptoticky blíží hodnotě a₁ (mez nasycení). Příjmová pružnost E_i ∈ ⟨0; 1⟩.

2. Tornquistova funkce — relativně zbytné statky $$y_t = a_1 \cdot \frac{x_p - a_3}{x_p + a_2} + u_t$$

Posunutá doprava o minimální příjem a₃, asymptoticky se blíží a₁. E_i ∈ ⟨0; 1⟩.

3. Tornquistova funkce — luxusní statky (vrtulníky, jachty) $$y_t = a_1 \cdot x_p \cdot \frac{x_p - a_3}{x_p + a_2} + u_t$$

Rostoucí strmá křivka začínající později; nemá asymptotu, pružnost E_i > 1.

Shrnutí pro test:

1. TQ → nezbytné (chleba, mléko)
2. TQ → relativně zbytné (máslo)
3. TQ → luxusní (vrtulníky)

klíčové TQ funkce

Q52

Zapište funkční tvar 1. TQ funkce a převeďte jej do lineární podoby. Co je obsahem matice X a vektoru y pro odhad linearizované 1. TQ?

1. TQ funkce $$y_t = a_1 \cdot \frac{x_p}{x_p + a_2} + u_t$$

Linearizace pomocí substitucí:

$$a_1' = \frac{1}{a_1}, \qquad a_2' = \frac{a_2}{a_1}$$

Linearizovaná podoba 1. TQ $$y_t' = a_1' + a_2' \cdot x_p' + u_t'$$

Matice X a vektor y obsahují reciproké hodnoty původních proměnných, tj. 1 / hodnota.

Příklad M3/8/24 (Rybář, str. 35) — sestavte matice pro BMNČ 1. TQ

Pro podkladová data:

y_t	x_p
20	4
25	5
40	8
50	10

$$y' = \begin{pmatrix} 1/20 \\ 1/25 \\ 1/40 \\ 1/50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}05 \\ 0{,}04 \\ 0{,}025 \\ 0{,}02 \end{pmatrix}, \quad X' = \begin{pmatrix} 1 & 1/4 \\ 1 & 1/5 \\ 1 & 1/8 \\ 1 & 1/10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0{,}25 \\ 1 & 0{,}2 \\ 1 & 0{,}125 \\ 1 & 0{,}1 \end{pmatrix}$$

Zpětný převod: Pokud odhadneme y' = 0,1 + 0,4·x_p' + u', pak a₁ = 1/0,1 = 10 a a₂ = 0,4·10 = 4 ⇒ původní 1. TQ má tvar y = 10·x_p/(x_p+4) + u.

VIP — bývá v testu linearizace BMNČ

Q53

K čemu se používá rozdílový koeficient pružnosti? Za jakých podmínek? Čemu se rovná u lineární funkce 2. řádu?

Rozdílový koeficient pružnosti respektuje zakřivení funkce, lze ho tedy použít u nelineárního průběhu funkce — tam, kde bodová pružnost (derivace v bodě) nestačí, protože by ignorovala změnu sklonu mezi dvěma body.

U lineární funkce je rozdílový koeficient pružnosti 2. řádu roven nule (přímka nemá zakřivení).

Použití: Pokud potřebujeme zhodnotit pružnost mezi dvěma vzdálenějšími body (oblouková pružnost), použijeme rozdílový koeficient místo bodové pružnosti — viz příklad M2/6.

pružnost nelineární fce

Q54

Interpretujte přímou cenovou, křížovou a příjmovou pružnost. Existují i jiné typy pružností?

Pružnost = sklon tečny funkce v daném bodě křivky. Říká, o kolik % se změní vysvětlovaná proměnná, pokud se vysvětlující proměnná zvýší o 1 %. Procentní vyjádření umožňuje srovnávat intenzitu vlivu i při odlišných jednotkách.

Přímá cenová pružnost e_ii

Procentní změna v poptávce po i-tém výrobku při 1% změně ceny tohoto výrobku.

$$e_{ii} = \frac{\partial y}{\partial x_i} \cdot \frac{x_i}{\hat{y}}$$

Příklad: e_ii = −2 % ⇒ když cena mého výrobku vzroste o 1 %, spotřeba y klesne o 2 %.

Křížová cenová pružnost e_ij

Procentní změna v poptávce po i-tém výrobku při 1% změně ceny cizího (j-tého) výrobku.

$$e_{ij} = \frac{\partial y}{\partial x_j} \cdot \frac{x_j}{\hat{y}}$$

+ (kladná) ⇒ substitut (káva ↔ čaj)
− (záporná) ⇒ komplement (káva ↔ cukr)

Příjmová pružnost E_i

Procentní změna v poptávce při 1% změně příjmu.

$$E_i = \frac{\partial y}{\partial x_p} \cdot \frac{x_p}{\hat{y}}$$

Další typy pružností: bodová pružnost, oblouková (intervalová) pružnost, rozdílový koeficient pružnosti.

Příklad M2/3/12 (Rybář, str. 27) — káva vs. čaj

Model: ŷ_it = 20 + 0,5·x_2t − 0,6·x_3t + u_t

y_it — spotřeba kávy [ks/os./měsíc]
x_2t — cena čaje (25 Kč) … x_j
x_3t — cena kávy (30 Kč) … x_i

Teoretická hodnota: ŷ = 20 + 0,5·25 − 0,6·30 = 14,5

Přímá cenová elasticita $$e_{ii} = -0{,}6 \cdot \frac{30}{14{,}5} = -1{,}241\,\%$$

Křížová cenová pružnost $$e_{ij} = 0{,}5 \cdot \frac{25}{14{,}5} = 0{,}862\,\%$$

Závěr: Poptávku po kávě více ovlivňuje cena kávy (|−1,241| > 0,862) než cena čaje. Křížová pružnost je kladná → káva a čaj jsou substituty.

Příklad M3/4/21 (Rybář, str. 29) — mocninná funkce, spotřeba čaje

Odhadnutá rovnice:

$$\hat{y}_{it} = 3{,}3 \cdot x_{2t}^{-0{,}4} \cdot x_{3t}^{-0{,}9} \cdot x_{4t}^{1{,}5}$$

kde x_2t = cena čaje, x_4t = příjem v tis. Kč.

U mocninné funkce jsou exponenty rovnou koeficienty pružnosti:

Přímá cenová pružnost: e_ii = −0,4 (cena čaje)
Příjmová pružnost: E_i = 1,5 (příjem)

Větší vliv na spotřebu má příjem (|1,5| > |−0,4|). Pozn.: záporná pružnost u x_3t (−0,9) ⇒ komplement (např. cukr).

VIP — bývá v testu pružnost

Q55

Jmenujte obvyklé proměnné vystupující ve spotřebních funkcích.

y — spotřeba (poptávka)
x_i — cena i-tého (mého) výrobku
x_j — cena j-tého (cizího) výrobku
x_p — příjem

spotřební funkce terminologie

SEKCE G · Q56–76

G Vícerovnicové modely & metody odhadu

Strukturální vs. redukovaná forma, matice B, Γ a M, identifikace rovnic, klasifikace modelů podle matice B (prostý/rekurzivní/simultánní) a metody odhadu — BMNČ, DMNČ, úplné vs. neúplné metody.

Z výkladu (Rybář, str. 19–20)

Strukturální forma — endogenní y jsou nalevo i napravo, náhodná složka u_t, nelze ji použít pro prognózu:

$$B \cdot y_t + \Gamma \cdot x_t = u_t$$

Redukovaná forma — endogenní y vždy nalevo, predeterminované napravo, náhodná složka v_t, lze ji použít pro prognózu:

$$y_t = M \cdot x_t + v_t, \qquad \text{kde } M = -B^{-1} \cdot \Gamma$$

Q56

Uveďte obecný zápis vícerovnicového modelu (algebraický zápis).

Vícerovnicový model je soustava g rovnic, kde každá rovnice obsahuje jednu vysvětlovanou endogenní proměnnou y nalevo a kombinaci endogenních a predeterminovaných proměnných napravo. Obecný algebraický zápis (pro g rovnic a k predeterminovaných proměnných):

$$y_{1t} = \beta_{12} y_{2t} + \beta_{13} y_{3t} + \ldots + \gamma_{11} x_{1t} + \ldots + \gamma_{1k} x_{kt} + u_{1t}$$ $$y_{2t} = \beta_{21} y_{1t} + \beta_{23} y_{3t} + \ldots + \gamma_{21} x_{1t} + \ldots + \gamma_{2k} x_{kt} + u_{2t}$$ $$\vdots$$ $$y_{gt} = \beta_{g1} y_{1t} + \ldots + \gamma_{g1} x_{1t} + \ldots + \gamma_{gk} x_{kt} + u_{gt}$$

kde β jsou parametry před endogenními proměnnými, γ před predeterminovanými a u_it je náhodná složka i-té rovnice.

Q57

Uveďte maticový zápis vícerovnicového modelu. Definujte obsah a rozměr použitých matic a vektorů.

Strukturální maticová forma $$B \cdot y_t + \Gamma \cdot x_t = u_t$$

B — matice parametrů před nezpožděnými endogenními proměnnými, rozměr [g × g]
Γ — matice parametrů před predeterminovanými proměnnými, rozměr [g × k]
y_t — vektor nezpožděných endogenních proměnných, rozměr [g × 1]
x_t — vektor predeterminovaných proměnných (včetně zpožděných endogenních a jednotkového vektoru), rozměr [k × 1]
u_t — vektor náhodných složek, rozměr [g × 1]

kde g = počet rovnic (= počet nezpožděných endogenních proměnných), k = počet predeterminovaných proměnných.

maticový zápis

Q58

Vysvětlete rozdíl mezi strukturální a redukovanou formou modelu.

Vlastnost	Strukturální forma	Redukovaná forma
Endogenní y	nalevo i napravo	vždy nalevo
Napravo	endogenní + predeterminované	pouze predeterminované
Náhodná složka	u_t	v_t
Použití pro prognózu	NELZE	LZE
Maticový zápis	$$B \cdot y_t + \Gamma \cdot x_t = u_t$$	$$y_t = M \cdot x_t + v_t$$

VIP — bývá v testu strukturální vs. redukovaný

Q59

Co je to matice multiplikátorů M? Jak ji lze získat? Co obsahuje a jaký má rozměr?

Matice multiplikátorů M obsahuje parametry před predeterminovanými proměnnými v redukovaném tvaru modelu. Vyjadřuje komplexní (přímé i zprostředkované) vazby mezi endogenními a predeterminovanými proměnnými.

Získání:

U jednoduchých modelů — postupnou substitucí.
U složitějších modelů — výpočtem pomocí vzorce M = −B⁻¹·Γ.

Rozměr: [g × k]

Příklad matice M (str. 20)

Pro redukovaný model:

$$y_{1t} = -6 + 3 x_{2t} + 7 x_{3t} + v_{1t}$$ $$y_{2t} = 8 - 2 x_{2t} + 6 x_{3t} + v_{2t}$$

matice multiplikátorů (sloupce x₁, x₂, x₃):

$$M = \begin{pmatrix} -6 & 3 & 7 \\ 8 & -2 & 6 \end{pmatrix}$$

Q60

Jakými způsoby lze převést model ze strukturální do redukované formy? Naznačte převod metodou substituce u libovolného dvourovnicového simultánního modelu.

Existují dva způsoby převodu strukturálního modelu na redukovaný:

Substituce — dosazování jedné rovnice do druhé tak, abychom y izolovali nalevo. Vhodné u malých modelů.
Výpočet podle vzorce — univerzální, pro libovolnou velikost modelu:

Vzorec převodu $$M = -B^{-1} \cdot \Gamma$$

Ukázka substituce u dvourovnicového simultánního modelu

Strukturální tvar:

$$y_{1t} = \beta_{12}\,y_{2t} + \gamma_{11}\,x_{1t} + u_{1t}$$ $$y_{2t} = \beta_{21}\,y_{1t} + \gamma_{22}\,x_{2t} + u_{2t}$$

Dosadíme druhou rovnici do první za y_2t, vyřešíme pro y_1t a obdobně pro y_2t. Výsledkem jsou rovnice, kde nalevo je vždy jen jedno y a napravo pouze x.

Q61

Definujte, co znamenají predeterminované proměnné.

Predeterminované proměnné jsou souborem:

všech exogenních proměnných x,
všech zpožděných exogenních proměnných x_(t−i),
všech zpožděných endogenních proměnných y_(t−i).

Zrada: Nezpožděné endogenní y_t nejsou predeterminované, ani když stojí napravo v rovnici.

terminologie

Q62

Co je to identitní (definiční) rovnice a k čemu v modelu slouží?

Identitní (definiční) rovnice zvyšuje vnitřní závislost mezi endogenními proměnnými y v modelu. Jedná se o deterministický vztah, takže:

strukturální parametry jsou předem známé (většinou rovny 1),
nemusí se odhadovat,
rovnice neobsahuje náhodnou složku u_t.

Příklad:

$$y_{1t} = \beta_{12} y_{2t} + \beta^*_{11} y_{1(t-1)} + \gamma_{11} x_{1t} + \gamma_{12} x_{2t} + u_{1t} \quad \text{(stochastická)}$$ $$y_{2t} = \beta_{23} y_{3t} + \gamma_{21} x_{1t} + \gamma_{23} x_{3t} + \gamma_{24} x_{4t} + u_{2t} \quad \text{(stochastická)}$$ $$y_{3t} = y_{1t} + y_{2t} \quad \text{(identitní)}$$

Např. y₁ = rostlinná výroba, y₂ = živočišná výroba, y₃ = zemědělská výroba celkem. Identitní rovnice se již neidentifikuje (je předem identifikovaná).

Q63

Obsahuje identitní rovnice náhodnou složku? (zdůvodněte)

Neobsahuje. Jedná se o deterministický vztah, ve kterém jsou strukturální parametry předem známé a nemusí se odhadovat. Z toho důvodu zde nevzniká „chyba odhadu" a náhodná složka u_t chybí.

Q64

Popište postup identifikace ekonometrického modelu. Proč se provádí? U jakých typů modelů?

Všechny rovnice modelu musí splňovat identifikační předpis:

Identifikační kritérium $$k_{**} \;\geq\; g_{*} - 1$$

k_** — počet predeterminovaných proměnných, které nejsou v dané rovnici (ale jsou v modelu jinde)
g_* — počet nezpožděných endogenních proměnných zahrnutých v rovnici

Výsledné hodnocení:

k_** = g_* − 1 → rovnice je přesně identifikovaná
k_** < g_* − 1 → rovnice není identifikovaná (podidentifikovaná) — problém!
k_** > g_* − 1 → rovnice je přeidentifikovaná

Identifikace se provádí pro každou rovnici samostatně, výhradně u simultánních modelů. Pokud jsou všechny rovnice přesně identifikované, lze použít pro odhad parametrů BMNČ (přes redukovanou formu). Jinak je nutné použít DMNČ.

VIP — bývá v testu: Identifikace simultánních modelů je téměř jistá otázka. Pamatuj si formuli k_** ≥ g_* − 1!

Příklad identifikace rovnic (Rybář, str. 22)

Pro soustavu rovnic:

$$y_{1t} = -4 y_{3t} - 1 - 5 x_{4t} + 6 y_{1(t-1)} + u_{1t}$$ $$y_{2t} = 2 y_{3t} - 3 - 4 x_{2t} - 5 x_{3t} + u_{2t}$$ $$y_{3t} = 8 y_{1t} - 2 y_{2t} - 5 x_{2t} + 3 x_{4t} + u_{3t}$$

Predeterminované proměnné v modelu: x₁, x₂, x₃, x₄, y_1(t−1) (zpožděné endogenní se počítají do k_**!).

Rovnice	k_**	g_*	Vyhodnocení
1.	2	2	2 ≥ 1 ⇒ přeidentifikovaná
2.	2	2	2 ≥ 1 ⇒ přeidentifikovaná
3.	2	3	2 ≥ 2 ⇒ přesně identifikovaná

Zrada 1: zpožděné endogenní proměnné se nepočítají do g_*, ale do k_**!

Zrada 2: Identifikuje se každá rovnice samostatně. Pokud je byť jedna podidentifikovaná, celý model je špatně identifikovaný.

VIP — bývá v testu identifikace simultánní model

Q65

Co to znamená, není-li model dobře identifikovaný (je podidentifikovaný)?

Model není dobře identifikovaný, pokud není pro některou rovnici splněn identifikační předpis k_** ≥ g_* − 1.

Důsledek: Redukovaná forma modelu (potřebná pro prognózu) není jednoznačně určena — jedné redukované formě odpovídá více strukturálních forem ⇒ nelze odhadnout parametry modelu.

Q66

Jmenujte typy modelů podle matice B. Definujte jednotlivé typy.

Prostý model — matice B je jednotková (E). Mezi endogenními proměnnými y není žádný vztah, jedná se o samostatné rovnice.
Rekurzivní model — matice B je trojúhelníková (pod diagonálou samé nuly nebo nad diagonálou samé nuly). Mezi y jsou pouze dopředné (nebo pouze zpětné) vazby a nekříží se.
Simultánní model — matice B obsahuje alespoň jeden nenulový prvek nad i pod hlavní diagonálou. Vazby mezi endogenními y se kříží (simultánní vazby).

VIP — bývá v testu: Klasifikace podle matice B je důležitá pro volbu odhadové metody — určuje, zda lze použít BMNČ nebo musíme sáhnout po DMNČ.

Příklad matic B a Γ (Rybář, str. 18)

Pro soustavu:

$$y_{1t} = -4 y_{3t} - 1 - 5 x_{4t} + 6 y_{1(t-1)} + u_{1t}$$ $$y_{2t} = 2 y_{3t} - 3 - 4 x_{2t} - 5 x_{3t} - 2 y_{2(t-1)} + u_{2t}$$ $$y_{3t} = 8 y_{1t} - 2 y_{2t} - 5 x_{2t} + 3 x_{4t} + u_{3t}$$

Po převedení všech endogenních y na levou stranu sestavíme:

Matice B (sloupce y₁, y₂, y₃) $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \\ -8 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Matice Γ (sloupce x₁, x₂, x₃, x₄, y_1(t−1), y_2(t−1)) $$\Gamma = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 & -6 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & -3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Rozměry: B má g × g = 3 × 3, Γ má g × k. Tato matice B obsahuje nenulové prvky nad i pod diagonálou (např. 4 a −8) ⇒ jde o simultánní model.

Zrada: Zpožděné endogenní y_1(t−1), y_2(t−1) patří do matice Γ (k predeterminovaným), nikoliv do B!

VIP — bývá v testu matice B klasifikace

Q67

Jakou metodu lze použít pro odhad parametrů prostého, rekurzívního a simultánního modelu?

Typ modelu	Metoda odhadu
Prostý	BMNČ (jsou to samostatné rovnice)
Rekurzivní	BMNČ (postupně po rovnicích)
Simultánní	BMNČ — pokud je celý model přesně identifikovaný, nebo v rovnicích, kde je y pouze nalevo a x napravo DMNČ — v rovnicích, kde je y nalevo i napravo a model není přesně identifikovaný

Q68

Popište způsob odhadu parametrů rekurzivního modelu BMNČ.

Parametry se odhadují pro každou rovnici zvlášť, postupně podle pořadí rovnic. Vypočtenou (teoretickou) endogenní proměnnou ŷ₁ z první rovnice použijeme jako vysvětlující proměnnou pro odhad y₂ ve druhé rovnici, atd.

Díky trojúhelníkové matici B nedochází ke křížení vazeb a každá rovnice je řešitelná samostatně klasickou metodou BMNČ.

Klíčový krok: teoretická hodnota ŷ_i = X·β̂_i z předchozí rovnice nahrazuje skutečnou y_i v rovnici následující.

Q69

Za jakých podmínek lze odhadnout simultánní model pomocí BMNČ? Popište tento způsob odhadu.

Simultánní model lze odhadnout pomocí BMNČ pouze tehdy, je-li přesně identifikovaný (každá rovnice splňuje k_** = g_* − 1).

Postup:

Převést strukturální model na redukovanou formu (substitucí nebo přes M = −B⁻¹·Γ).
BMNČ odhadnout parametry redukovaného tvaru (každá rovnice samostatně).
Zpětným převodem z redukovaného do strukturálního tvaru získat parametry strukturální formy.

Q70

V čem se liší metody pro odhad parametrů s úplnou a neúplnou informací?

	Metody s úplnou informací	Metody s neúplnou informací
Princip	Odhadují všechny rovnice najednou	Odhadují každou rovnici zvlášť
Informace	Berou v potaz informace ze všech rovnic	Nezohledňují informace z ostatních rovnic
Počet pozorování	Vyžadují větší počet	Nejsou náročné
Výpočetní náročnost	Vyšší	Nižší
Příklad	Třístupňová metoda nejmenších čtverců (TMNČ)	Dvoustupňová metoda nejmenších čtverců (DMNČ)

Q71

Proč nelze odhadnout parametry strukturální formy simultánního modelu BMNČ?

Protože strukturální simultánní model obsahuje endogenní proměnné nalevo i napravo v rovnicích. To porušuje předpoklad nezávislosti vysvětlujících proměnných (endogenita) a BMNČ by dávala vychýlené a nekonzistentní odhady.

Strukturální simultánní model by se proto musel nejdříve převést na redukovaný tvar (kde napravo jsou pouze predeterminované proměnné), na který lze BMNČ aplikovat. Viz Q69.

Q72

Co je podstatou DMNČ?

Podstatou DMNČ (dvoustupňové metody nejmenších čtverců) je opakovaná aplikace běžné metody nejmenších čtverců:

1. krok (1. stupeň): odhadnou se teoretické (predikované) hodnoty vysvětlujících endogenních proměnných v dané rovnici pomocí BMNČ — proměnná se regresí přes všechna predeterminovaná X v celém modelu.
2. krok (2. stupeň): pomocí těchto teoretických hodnot (které již nekorelují s reziduy) se BMNČ provede vlastní odhad strukturálních parametrů této rovnice.

1. krok DMNČ $$\hat{Y}_2 = X \cdot (X^T \cdot X)^{-1} \cdot X^T \cdot Y_2$$

2. krok DMNČ $$\begin{bmatrix} \beta_2 \\ \gamma_{1*} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hat{Y}_2^T \hat{Y}_2 & \hat{Y}_2^T X_* \\ X_*^T \hat{Y}_2 & X_*^T X_* \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} \hat{Y}_2^T \\ X_*^T \end{bmatrix} \cdot y_1$$

Q73

Deklarujte matice a vektory nutné pro odhad parametrů DMNČ.

X_* — matice všech predeterminovaných (x) v dané rovnici
X — matice všech predeterminovaných (x) v celém modelu; nejprve se zapisují ty z X_*
Y₂ — matice všech nezpožděných endogenních y na pravé straně rovnice
y₁ — vektor jedné nezpožděné endogenní y na levé straně rovnice

Příklad deklarace pro 1. rovnici (Rybář, str. 24)

Pro soustavu:

$$y_{1t} = -4 y_{3t} - 1 - 5 x_{4t} + 6 y_{1(t-1)} + u_{1t}$$ $$y_{2t} = 2 y_{3t} - 3 - 4 x_{2t} - 5 x_{3t} + u_{2t}$$ $$y_{3t} = 8 y_{1t} - 2 y_{2t} - 5 x_{2t} + 3 x_{4t} + u_{3t}$$

Pro 1. rovnici platí:

X_* = (x_1t, x_4t, y_1(t−1)) — proměnné v 1. rovnici
X = (x_1t, x_4t, y_1(t−1), x_2t, x_3t) — doplněno o ty, co v 1. rovnici nejsou
Y₂ = (y_3t)
y₁ = (y_1t)

Zrada: Kdyby Y₂ bylo prázdné (žádná endogenní napravo), použila by se BMNČ, ne DMNČ!

Q74

Uveďte submatice, ze kterých se skládá matice K, včetně jejich rozměrů.

Matice K používaná v DMNČ je bloková matice složená ze čtyř submatic:

$$K = \begin{bmatrix} \hat{Y}_2^T \cdot \hat{Y}_2 & \hat{Y}_2^T \cdot X_{*} \\ X_{*}^T \cdot \hat{Y}_2 & X_{*}^T \cdot X_{*} \end{bmatrix}$$

Rozměry submatic (pro rovnici, kde je g₂ endogenních napravo a k_* predeterminovaných):

Ŷ₂^T·Ŷ₂ — rozměr [g₂ × g₂]
Ŷ₂^T·X_* — rozměr [g₂ × k_*]
X_*^T·Ŷ₂ — rozměr [k_* × g₂]
X_*^T·X_* — rozměr [k_* × k_*]

Celkový rozměr matice K je [(g₂ + k_*) × (g₂ + k_*)] — odpovídá počtu odhadovaných strukturálních parametrů v rovnici.

Q75

Co je to matice C_ii a k čemu slouží?

Definice C_ii $$C_{ii} = K^{-1}$$

Matice C_ii je čtvercová matice inverzní k matici K. Počet jejích řádků (i sloupců) odpovídá počtu odhadovaných strukturálních parametrů v rovnici.

Použití:

Slouží pro samotný výpočet strukturálních parametrů (vystupuje ve vzorci 2. kroku DMNČ).
Prvky na hlavní diagonále C_ii jsou potřebné pro testování statistické významnosti strukturálních parametrů pomocí t-testů (obdobně jako prvky (X^T·X)⁻¹ u BMNČ).

Q76

Jaký je vztah mezi BMNČ a DMNČ?

DMNČ obsahuje BMNČ. V DMNČ je BMNČ aplikována opakovaně:

1. stupeň = BMNČ pro odhad teoretických hodnot vysvětlujících endogenních proměnných (regrese Y₂ na všechny X v modelu).
2. stupeň = BMNČ pro vlastní odhad strukturálních parametrů rovnice (s nahrazenými hodnotami Ŷ₂).

Shrnutí: DMNČ = 2× BMNČ — proto se metoda nazývá „dvoustupňová".

BMNČ DMNČ vztah metod

SEKCE H · Q77–114

H Produkční & nákladové funkce

Čtyři tváře téhož problému: vztah Faktor–Produkt (produkční fce), Faktor–Faktor (izokvanta), Produkt–Produkt (izofaktor) a Produkt–Faktor (nákladová). Všude hledáme bod optimality — kde se sklon funkce rovná poměru cen.

H.1 Produkční funkce (vztah Faktor–Produkt)

Q77

Jaký vztah reprezentuje produkční funkce?

Produkční funkce vyjadřuje vztah faktor → produkt, tj. přeměnu jednoho nebo více výrobních faktorů ve výslednou produkci.

Jednofaktorová PF: $y = f(x_1 \,//\, x_2, x_3, \ldots, x_n)$ — pouze $x_1$ je proměnný, ostatní fixní.
Dvoufaktorová PF: $y = f(x_1, x_2 \,//\, x_3, \ldots, x_n)$ — proměnné jsou $x_1$ a $x_2$.

Q78

Jak se liší odvětvová PF od mikroekonomické (podnikové)?

Mikroekonomická PF popisuje chování firmy (podniku). Odvětvová PF popisuje chování celého odvětví — agregace mikroekonomických PF v daném odvětví.

Q79

Jaký je průběh neoklasické PF?

Neoklasická PF má progresivně–degresivní průběh — nejdřív roste zrychleně, pak se zpomaluje až do nasycení. Reprezentuje typický průběh produkční funkce.

$$y = a + bx + cx^2 - dx^3$$obecný tvar progresivně-degresivní PF

Q80

Charakteristiky produkční funkce

TP — Total Product (celková produkce): $y = f(x)$, celkový výstup.
AP — Average Product (jednotková produkce): $AP = y/x$ — kolik výstupu připadá průměrně na jednotku faktoru.
MP — Marginal Product (mezní produkce): $MP = \partial y / \partial x$ — o kolik se zvýší produkce při zvýšení faktoru o jednotku.
Ep — produkční pružnost: $E_p = MP/AP = \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{x}{y}$ — o kolik % se změní $y$ při 1% změně faktoru.

Q81

Průběh MP a AP u neoklasické PF

U neoklasické PF: MP nejprve roste, dosáhne maxima v bodě A, klesá, protne AP v bodě B (kde je AP maximální), pak dál klesá. AP roste do bodu B, pak klesá. MP=0 v bodě C (maximum TP).

Q82

Stádia neoklasické PF a pružnosti v nich

Stádium	Interval	Pružnost $E_p$	Hodnocení
1. stádium	$0 \to B$	$E_p > 1$	neracionální — málo faktoru, lze přidat
2. stádium	$B \to C$	$0 < E_p < 1$	racionální — zde hledáme optimum
3. stádium	$C \to \infty$	$E_p < 0$ (MP<0)	neracionální — přebytek faktoru škodí

Q83

Kritérium optimality pro PF (maximalizace zisku)

Optimální množství faktoru najdeme tam, kde se mezní produkce rovná poměru cen:

$$MP = \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{C_x}{C_y}$$$C_x$ = cena jednotky faktoru, $C_y$ = cena jednotky produkce

Intuice: přidávám faktor tak dlouho, dokud výnos z dodatečné jednotky ($MP \cdot C_y$) převyšuje její cenu ($C_x$).

Q84

Charakteristiky dvoufaktorové PF

Stejné jako u 1-faktorové, ale počítáme zvlášť pro $x_1$ a zvlášť pro $x_2$ pomocí parciálních derivací:

TP: $y = f(x_1, x_2)$
AP: $AP_1 = y/x_1$, $AP_2 = y/x_2$
MP: $MP_1 = \partial y/\partial x_1$, $MP_2 = \partial y/\partial x_2$
Ep: $E_{p1} = (\partial y/\partial x_1)(x_1/y)$, analogicky pro $x_2$

$$\frac{\partial y}{\partial x_1} = \frac{C_{x_1}}{C_y} \quad \text{a současně} \quad \frac{\partial y}{\partial x_2} = \frac{C_{x_2}}{C_y}$$kritérium optimality pro 2-PF — musí platit pro oba faktory současně

Q85

Průběh dvoufaktorové PF graficky

Grafickým zobrazením 2-PF je produkční povrch — 3D plocha $y = f(x_1, x_2)$. Vodorovné řezy touto plochou (na úrovni konstantního $y$) jsou izokvanty. Svislé řezy podle jedné proměnné jsou jednofaktorové PF.

H.2 Izokvanta (vztah Faktor–Faktor)

Q86

Z jaké funkce lze odvodit izokvantu?

Izokvantu odvodíme z dvoufaktorové produkční funkce $y = f(x_1, x_2 \,//\, \ldots)$. Postup: za $y$ dosadíme konkrétní známou produkci, z rovnice vyjádříme $x_2$ pomocí $x_1$ — vznikne $x_2 = f(x_1 \,//\, y)$.

Příklad (T2/11)Z PF $y = 10x_1 + 5x_2 - x_1 x_2$ pro $y = 10$ → $10 = 10x_1 + 5x_2 - x_1 x_2$ → $x_2 = \frac{10 - 10x_1}{5 - x_1}$.

Q87

Definujte izokvantu

Izokvanta je funkce vyjadřující veškeré kombinace faktorů $x_1$ a $x_2$, při kterých je dosaženo stále stejné produkce $y$. Izokvanta vyjadřuje vztah faktor → faktor.

Q88

K čemu lze použít izokvantu?

K odhadu potřebného množství faktoru $x_2$, pokud mám dané množství $x_1$ a požadovanou produkci $y$.
K nalezení optimálního bodu pro maximalizaci zisku — grafické řešení kritéria optimality (viz Q95).

Q89

Typický průběh izokvanty

Typický průběh izokvanty je klesající a konvexní (vypouklá k počátku). Klesající znamená, že úbytek jednoho faktoru musí být vykompenzován přidáním druhého.

Q90

Co je to MMZF?

Mezní míra záměny faktoru $x_2$ podle $x_1$ — o kolik jednotek se změní rozsah faktoru $x_2$, pokud se faktor $x_1$ změní o jednotku (při zachování stejné produkce).

$$\text{MMZF} = \frac{\partial x_2}{\partial x_1}$$sklon izokvanty v daném bodě

Q91

Co jsou to izokliny?

Izoklina je funkce spojující na různých izokvantách body se stejnou mezní mírou záměny faktorů (body, v nichž mají izokvanty stejný sklon).

Q92

Racionální a neracionální oblast záměny faktorů

Oblast	MMZF	Tvar izokvanty	Hodnocení
Negativní (racionální)	$< 0$	klesající	↑ $x_1$ → ↓ $x_2$ ✓ očekávaná záměna
Pozitivní (neracionální)	$> 0$	rostoucí	↑ $x_1$ → ↑ $x_2$ ✗ nadměrné množství

Izokliny oddělující tyto úseky se nazývají hřebenové křivky (hřebenové izokliny). Mezi nimi leží racionální oblast.

Q93

Kritérium optimality pro izokvantu (F-F)

$$\frac{\partial x_2}{\partial x_1} = -\frac{C_{x_1}}{C_{x_2}}$$sklon izokvanty = -poměr cen faktorů

$C_{x_1}$ = cena jednotky faktoru $x_1$, $C_{x_2}$ = cena jednotky $x_2$. Geometricky: optimum je tam, kde se izokosta dotýká izokvanty (je tečnou).

Q94

Izonákladová funkce (izokosta)

Izokosta představuje takové kombinace výrobních faktorů ($x_1, x_2$), jejichž pořízení představuje stále stejný náklad (izo-kosta). Má tvar přímky:

$$N = C_{x_1} \cdot x_1 + C_{x_2} \cdot x_2$$

Používá se při hledání optimálního bodu na izokvantě.

Q95

Grafické řešení optimalizace F-F

Postup:

Zakreslíme izokvantu (klesající konvexní křivka).
Zakreslíme izokostu pro libovolné náklady (přímka se sklonem $-C_{x_1}/C_{x_2}$).
Posouváme izokostu rovnoběžně, dokud se nedotkne izokvanty v jediném bodě $E$.
Bod $E$ je optimální kombinace faktorů pro maximalizaci zisku (resp. minimalizaci nákladů pro danou produkci).

Q96

Co je to efekt substituce?

Jev, kdy v důsledku snížení ceny jednoho z faktorů (např. $x_1$) dojde ke změně optimální kombinace obou faktorů ve prospěch levnějšího faktoru. Sklon izokosty se změní směrem k levnějšímu faktoru a optimální bod tečny se posune po izokvantě doprava (k $x_1$).

Q97

Co je to efekt expanze?

Jev, kdy v důsledku zvýšení ceny výrobku (ceny produkce $y$) dochází ke zvýšení úrovně výroby pomocí zvýšeného použití faktorů $x_1$ a $x_2$. Izokvanta se posouvá doprava a nahoru, čímž se mění i optimální kombinace faktorů (izokosta protne izokvantu v jiném — vzdálenějším — bodě od počátku).

H.3 Izofaktorová funkce (vztah Produkt–Produkt)

Q98

Jaký vztah reprezentuje izofaktor?

Veškeré kombinace dvou produkcí $y_1$ a $y_2$, při kterých je spotřebováno stále stejné množství faktoru $x$. Izofaktor vyjadřuje vztah produkt → produkt (vztah mezi dvěma odvětvími).

Q99

Jak izofaktor odvodit?

Z dvou jednofaktorových produkčních funkcí pro $y_1$ a $y_2$ a společného množství faktoru $Q_x$ pro obě produkce. Postup: $Q_x = x_{1(y_1)} + x_{2(y_2)}$, vyjádříme inverzně $x$ z obou PF, dosadíme do součtu a získáme $y_2 = f(y_1 \,//\, x)$.

Q100

Definujte MMZP

Mezní míra záměny produktů — změna v produkci $y_2$ způsobená jednotkovou změnou v produkci $y_1$ (při zachování stejného množství faktoru).

$$\text{MMZP} = \frac{\partial y_2}{\partial y_1}$$

Vztah odvětví	MMZP	Tvar izofaktoru
Konkurenční	$< 0$ (negativní)	klesající
Podpůrné	$> 0$ (pozitivní)	rostoucí

Q101

K čemu se izofaktor používá?

K odhadu množství produkce $y_2$, mám-li dáno množství $y_1$ a celkové množství faktoru $x$.
K nalezení optimálního bodu pro maximalizaci zisku — grafické řešení (viz Q105).

Q102

Typický průběh izofaktoru

Izofaktor má klesající a konkávní průběh (vypouklý od počátku, jako oblouk čtvrtkruhu).

Q103

Kritérium optimality pro izofaktor

Hledáme optimální kombinaci produkcí $y_1$ a $y_2$ vedoucí k maximalizaci zisku:

$$\frac{\partial y_2}{\partial y_1} = -\frac{C_{y_1}}{C_{y_2}}$$sklon izofaktoru = -poměr cen produkcí

$C_{y_1}$ = cena jednotky produkce $y_1$, $C_{y_2}$ = cena jednotky $y_2$.

Q104

Funkce izotržeb

Izotržby představují všechny kombinace produkcí $y_1$ a $y_2$, při kterých je dosaženo stále stejných tržeb. Má tvar přímky:

$$T = C_{y_1} \cdot y_1 + C_{y_2} \cdot y_2$$

Používá se při hledání optimálního bodu na izofaktoru.

Q105

Grafické řešení optimalizace P-P

Optimálním řešením je bod, ve kterém je funkce izotržeb tečnou k izofaktoru. Postup analogický F-F: nakreslíme izofaktor (klesající konkávní), posouváme izotržby (přímku) až do dotyku v jednom bodě $E$.

H.4 Nákladová funkce (vztah Produkt–Faktor)

Q106

Jaký vztah reprezentuje nákladová funkce?

Nákladová funkce je závislost celkových nákladů $N$ na velikosti produkce $y$. Reprezentuje vztah produkt → faktor (kolik faktoru — vyjádřeného v penězích — potřebuji pro danou produkci).

Q107

Vztah produkční a nákladové funkce

Nákladová funkce (P-F) je inverzní k produkční funkci (F-P). Z $y = f(x)$ vyjádříme $x = f^{-1}(y)$, což je nákladová funkce (faktor je v penězích = náklady).

Q108

Průběh nákladové funkce

Průběh má degresivně–progresivní tvar (přesný opak progresivně-degresivní PF). Zpočátku rostou náklady pomalu (úspory z rozsahu), pak rychle (přetížení kapacit).

$$N = a + by - cy^2 + dy^3$$obecný tvar degresivně-progresivní nákladové fce

Q109

Charakteristiky nákladové funkce

CN — celkové náklady: $N = f(y)$
FC — fixní náklady: nezávisí na produkci ($N_0 = a$, průsečík s osou $y$)
VC — variabilní náklady: $VC = N - FC$
AC — průměrné (jednotkové) náklady: $AC = N/y$
MN — mezní náklady: $MN = \partial N / \partial y$ — náklady na dodatečnou jednotku produkce
MT — mezní tržby: $MT = C_y$ (při dané ceně)

Q110

Kritérium optimality pro nákladovou funkci

$$MN = MT = C_y$$mezní náklady = mezní tržby = cena produkce

Graficky: bod optimality (bod $C$) je bod dotyku nákladové funkce a tečny vedené z počátku. Vyrábím tak dlouho, dokud výnos z dodatečné jednotky převyšuje její náklady.

Q111

Odvození nákladové funkce z produkční

Nákladová funkce je inverzní k produkční. Z $y = f(x)$ inverzně vyjádřím $x$ jako funkci $y$ → $N = f^{-1}(y)$.

Příklad Zadaná PF: $y = 50 - 8(x - 2{,}5)^2$. Upravím:
$y - 50 = -8(x - 2{,}5)^2$
$\frac{y-50}{-8} = (x - 2{,}5)^2$
$\sqrt{\frac{y-50}{-8}} = x - 2{,}5$
Výsledná NF: $x(N) = \sqrt{\frac{y-50}{-8}} + 2{,}5$

Q112

Rozdíl: krátké vs dlouhé období

Krátké období (SR): alespoň jeden faktor je fixní (např. budovy, stroje). Existují fixní náklady.
Dlouhé období (LR): všechny faktory jsou variabilní. Nejsou fixní náklady — vše lze přizpůsobit.

Q113

Obecný tvar degresivně-progresivní nákladové funkce

$$N = a + by - cy^2 + dy^3$$$a$ = fixní náklady; degresivně-progresivní průběh

Q114

Obecný tvar progresivně-degresivní produkční funkce

$$y = a + bx + cx^2 - dx^3$$neoklasická PF

Všimni si: produkční a nákladová funkce mají opačné znaménko u kvadratického a kubického členu — to je důsledek inverze.

SEKCE I · Q115–124

I Prognózy

Smysl celé ekonometrie. Z odhadnutého modelu odvodíme předpověď budoucnosti — buď konkrétní hodnotu (bodová), nebo interval s pravděpodobností (intervalová). Vždy z redukovaného tvaru, nikdy ze strukturálního.

Q115

Definujte prognózu

Prognóza je předpověď ekonomického jevu, odvozená s využitím vědecké metody (nikoliv intuice nebo „odhad od oka").

Q116

Ex-post prognóza

Předpovídá do minulosti = negativní prognostický horizont. Předpovídá již známé hodnoty a slouží k ověření prognostických vlastností modelu (porovnáme predikci se skutečností).

Q117

Ex-ante prognóza

Předpovídá do budoucna = pozitivní prognostický horizont. To je „skutečná" prognóza, kvůli které se model staví.

Q118

Typy prognóz

a) Podle délky prognostického horizontu: krátkodobá / střednědobá / dlouhodobá.

b) Podle časového hlediska: ex-post / ex-ante.

c) Podle subjektivity a objektivity:

Subjektivní metody: srovnávací (analogie — mrkev/petržel), normativní (hlavní/vedlejší — tiskárny/tonery), analýza dokumentů, dotazování, delfská metoda, brainstorming.
Objektivní metody (statistika + matematika): analýza trendových funkcí, regresní analýza, strukturální analýzy, matematické programování, metody síťové analýzy.

Q119

Bodová vs intervalová prognóza

Bodová: jediné číslo — konkrétní předpovídaná hodnota.
Intervalová: interval $(\text{MIN}; \text{MAX})$, v němž bude hodnota ležet s určitou pravděpodobností (typicky 95 %).

Q120

Ověření prognostických vlastností modelu

Posuzuje se na základě:

ekonomická interpretovatelnost vypočtených parametrů (ekonomická verifikace)
těsnost závislosti endogenních a vysvětlujících proměnných — $R^2$
statistická významnost parametrů — t-testy
celková vhodnost modelu — F-test
normované odchylky $N_{it}$

Q121

Normované odchylky

Normovaná odchylka $N_{it}$ je rozdíl mezi prognózovanou a skutečnou hodnotou, dělený směrodatnou odchylkou reziduí:

$$N_{it} = \frac{\hat{y}_{it} - y_{it}}{S_u}$$

Použití: pokud $|N_{it}| < 2$ (přibližně), prognóza je v normě. Hodnota $N_{it} = -1{,}3$ je pouze dílčí výsledek, samostatně o ničem nerozhoduje — musíme posoudit celou sérii odchylek.

Q122

Bodová prognóza z trendové funkce

Vybereme regresní funkci, která nejlépe popisuje průběh závislosti (lineární, kvadratická, mocninná, …).
Provedeme odhad parametrů pomocí BMNČ.
Dosadíme $t = T + h$, kde $T$ = počet předchozích let, $h$ = počet let dopředu.

Příklad Lineární funkce: $x_{2t} = 3 + 1{,}5 \cdot t$. Pro $T = 10$, $h = 2$ → $t = 12$.
$x_{2t} = 3 + 1{,}5 \cdot 12 = 21$ — bodová předpověď pro $x_{2t}$ je 21.

Q123

Jaká forma modelu se používá pro prognózu?

Používá se redukovaná forma modelu. Strukturální podobu nelze pro prognózu použít, protože obsahuje endogenní proměnné na obou stranách rovnice (nelze přímo dosadit, musíme nejprve převést).

Převod strukturální → redukovaná: $M = -B^{-1} \cdot \Gamma$.

Q124

Intervalová prognóza z ekonometrického modelu

Intervalová prognóza vychází z bodové prognózy plus/mínus $t_\alpha$-násobek směrodatné chyby:

$$\hat{y}_{T+h}^{\text{MIN/MAX}} = \hat{y}_{T+h} \mp t_\alpha \cdot S_{\hat{y}}$$obecný tvar intervalové prognózy

Praktický příklad pro trendovou fci (viz Test 11, ot. 17): pokud máme $x_3 = 0{,}5 + 2t$ se s.ch. parametrů $(0{,}1; 0{,}2)$ a $j = 2$ (násobek směrodatných chyb pro 95 %):

$$\hat{x}_{\text{MIN}} = (a - j \cdot s_a) + (b - j \cdot s_b) \cdot t$$ $$\hat{x}_{\text{MAX}} = (a + j \cdot s_a) + (b + j \cdot s_b) \cdot t$$

Pro $t = 10$: $\hat{x}_{10}^{\text{MIN}} = (0{,}5 - 0{,}2) + (2 - 0{,}4) \cdot 10 = 16{,}3$; $\hat{x}_{10}^{\text{MAX}} = (0{,}5 + 0{,}2) + (2 + 0{,}4) \cdot 10 = 24{,}7$. Bodová: $20{,}5$.

I.5 Příloha 3 · Nabídková funkce firmy

Odvoďte nabídkovou funkci firmy

Nabídková funkce je tvořena rostoucí částí mezních nákladů ($MC$).

Krátké období: rostoucí větev $MC$ od minima $AVC$ (průměrných variabilních nákladů).
Dlouhé období: rostoucí větev $MC$ od minima $AC$ (průměrných celkových nákladů — v dlouhém období jsou jen variabilní).

Minimum AC v dlouhém období značí bod uzavření firmy (shut-down point) — pod touto cenou firma vyrábět nebude.

Intuice Firma nabídne tu produkci, pro kterou platí $MC = P$ (kritérium optimality). Proto je nabídka určena právě tvarem $MC$ — ale jen v jeho rostoucí části, protože v klesající části by firma vždy vyráběla raději více.

Příklad ze skript str. 38–40 · Prognóza z matice multiplikátorů (rok 2014)

Odvoďte prognózu pro $y_{1t}$ a $y_{3t}$ pro rok 2014, máme-li matici multiplikátorů a víme, že model byl odhadnut na časových řadách 1998–2010.

Zadání:

$$M = \begin{pmatrix} 5 & 4 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \\ 10 & -2 & 1{,}5 \end{pmatrix}$$

Trendové funkce vysvětlujících proměnných (poznámka: $x_{1t}$ = jednotkový vektor):

$$x_{2t} = 0{,}5 + 0{,}4 \cdot t \qquad x_{3t} = 18{,}2 - 0{,}2 \cdot t$$

Řešení:

Spočítáme T a h: období 1998–2010 = 13 pozorování → $T = 13$. Prognóza pro rok 2014 → $h = 4$. Dosazujeme $t = T + h = 17$.
Prognóza vysvětlujících proměnných:
$$\hat{x}_{2(T+4)} = 0{,}5 + 0{,}4 \cdot 17 = 7{,}3$$ $$\hat{x}_{3(T+4)} = 18{,}2 - 0{,}2 \cdot 17 = 14{,}8$$
Vypíšeme z M rovnice redukovaného modelu pro $y_1$ a $y_3$ (řádky 1 a 3 matice $M$, sloupce odpovídají $x_1, x_2, x_3$):
$$\hat{y}_{1t} = 5 + 4 x_{2t} - x_{3t}$$ $$\hat{y}_{3t} = 10 - 2 x_{2t} + 1{,}5 x_{3t}$$
Dosadíme prognózované hodnoty:
$$\hat{y}_{1(T+4)} = 5 + 4 \cdot 7{,}3 - 14{,}8 = \mathbf{19{,}4}$$ $$\hat{y}_{3(T+4)} = 10 - 2 \cdot 7{,}3 + 1{,}5 \cdot 14{,}8 = \mathbf{17{,}6}$$

Prognóza pro rok 2014: $y_1 \approx 19{,}4$, $y_3 \approx 17{,}6$.

Reference

Cheatsheet vzorců

Všechno klíčové na jedno místo — vytisknout, vzít k zkoušce na ústní (jen pokud jsou poznámky povolené!), nebo se z toho učit.

BMNČ (OLS)

$$\hat{\gamma} = (X^T X)^{-1} X^T y$$

Pro 1-rovnicové modely + prosté/rekurzivní vícerovnicové + přesně identifikované simultánní.

LRM (maticově)

$$y = X \gamma + u$$

$y$ [n×1], $X$ [n×k], $\gamma$ [k×1], $u$ [n×1].

Projekční matice Q

$$Q = X(X^T X)^{-1} X^T$$

$\hat{y} = Q \cdot y$. Symetrická a idempotentní.

Projekční matice M

$$M = E - Q$$

$u = M \cdot y$. Symetrická, idempotentní, $Q \perp M$.

Koeficient determinace $R^2$

$$R^2 = 1 - \frac{S_u^2}{S_y^2} = 1 - \frac{RSS}{TSS} = \frac{ESS}{TSS}$$

0–100 %, kolik variability $y$ vysvětluje model.

Adjustovaný $\bar{R}^2$

$$\bar{R}^2 = 1 - (1-R^2)\frac{n-1}{n-k}$$

Trestá nadbytečné proměnné.

Reziduální rozptyl

$$\bar{S_u^2} = \frac{u^T u}{n - k}$$

Korigovaný — dělíme $n-k$, ne $n$.

Kovariační matice

$$\text{Cov}(\hat{\gamma}) = \bar{S_u^2} \cdot (X^T X)^{-1}$$

Diagonála = rozptyly $S_{ii}$ parametrů.

t-test parametru

$$t = \frac{|\hat{\gamma}_i|}{S_{b_i}}, \quad S_{b_i} = \sqrt{S_{ii}}$$

Porovnat s $t_{\alpha, n-k}$; software dá p-hodnotu.

Interval spolehlivosti

$$IS = (\hat{\gamma}_i - t_\alpha S_{b_i}; \; \hat{\gamma}_i + t_\alpha S_{b_i})$$

Pokud IS obsahuje 0 → parametr nevýznamný.

F-test celkové vhodnosti

$$F = \frac{R^2 / (k-1)}{(1-R^2)/(n-k)}$$

H0: model není vhodný. Chceme $p < 0{,}05$.

RSS, ESS, TSS

$$TSS = ESS + RSS$$

$TSS = \sum(y_i - \bar{y})^2$, $ESS = \sum(\hat{y}_i - \bar{y})^2$, $RSS = \sum u_i^2$.

Durbin-Watson

$$DW = \frac{\sum_{t=2}^n (u_t - u_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^n u_t^2}$$

$DW \approx 2$ ✓; $DW \to 0$ kladná autokorelace; $DW \to 4$ záporná. Porovnat s $d_L, d_U$.

BG test (Breusch-Godfrey)

H0: bez autokorelace. Z software $p$-hodnota. Chceme $p > \alpha$ (pak nezamítáme H0).

BP test (Breusch-Pagan)

H0: bez heteroskedasticity. Chceme $p > \alpha$.

White test

H0: bez heteroskedasticity (obecnější než BP, zachytí i nelineární formy). Chceme $p > \alpha$.

PT test (Pesaran-Taylor)

H0: bez heteroskedasticity. Chceme $p > \alpha$.

JB test (Jarque-Bera)

H0: rezidua mají normální rozdělení. Chceme $p > \alpha$.

Identifikační kritérium

$$k^{**} \;\gtreqless\; g^* - 1$$

$k^{**}$ = počet predeterm. NEzahrnutých v rovnici; $g^*$ = počet endogenních ZAHRNUTÝCH. $=$ přesně; $<$ pod-; $>$ pře-identifikovaná.

Strukturální → redukovaná

$$M = -B^{-1} \cdot \Gamma$$

Matice multiplikátorů; rozměr $[g \times k]$.

Přímá cenová pružnost

$$e_{ii} = \frac{\partial y}{\partial x_i} \cdot \frac{x_i}{\hat{y}}$$

O kolik % se sníží spotřeba při 1% růstu vlastní ceny.

Křížová pružnost

$$e_{ij} = \frac{\partial y}{\partial x_j} \cdot \frac{x_j}{\hat{y}}$$

+ = substitut, − = komplement.

Příjmová pružnost

$$E_i = \frac{\partial y}{\partial x_p} \cdot \frac{x_p}{\hat{y}}$$

$E_i > 1$ luxus, $0 < E_i < 1$ nezbytný, $E_i < 0$ inferiorní.

1. TQ funkce (nezbytné)

$$y_t = a_1 \cdot \frac{x_p}{x_p + a_2} + u_t$$

Chleba, mléko. Nasycená, bez min. příjmu.

2. TQ funkce (rel. zbytné)

$$y_t = a_1 \cdot \frac{x_p - a_3}{x_p + a_2} + u_t$$

Máslo. Nasycená, s min. příjmem $a_3$.

3. TQ funkce (luxus)

$$y_t = a_1 \cdot x_p \cdot \frac{x_p - a_3}{x_p + a_2} + u_t$$

Luxus, vrtulníky. Bez nasycení, s min. příjmem.

Linearizace 1. TQ

$$y'_t = a_1' + a_2' \cdot x_p' \;\;\text{kde}\;\; a_1' = \tfrac{1}{a_1}, \; a_2' = \tfrac{a_2}{a_1}$$

Pro BMNČ použij reciproké hodnoty $1/y$, $1/x_p$.

Linearizace mocninné fce

$$\ln y_t = \ln \beta_0 + \beta_1 \ln x_1 + \ldots + \varepsilon_t$$

Použij logaritmy. Parametry $\beta_i$ = přímo elasticity.

Mocninná funkce

$$y_t = \beta_0 \cdot x_1^{\beta_1} \cdot x_2^{\beta_2} \cdot x_3^{\beta_3} \cdot u_t$$

$\beta_1 = e_{ii}$, $\beta_2 = e_{ij}$, $\beta_3 = E_i$.

Kritérium optimality PF

$$\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{C_x}{C_y}$$

MP = poměr cen.

Krit. optimality izokvanty

$$\frac{\partial x_2}{\partial x_1} = -\frac{C_{x_1}}{C_{x_2}}$$

Sklon izokvanty = -poměr cen faktorů.

Krit. optimality izofaktoru

$$\frac{\partial y_2}{\partial y_1} = -\frac{C_{y_1}}{C_{y_2}}$$

Sklon izofaktoru = -poměr cen produkcí.

Krit. optimality NF

$$MN = MT = C_y$$

Mezní náklady = mezní tržby = cena.

MMZF

$$\text{MMZF} = \frac{\partial x_2}{\partial x_1}$$

Sklon izokvanty.

MMZP

$$\text{MMZP} = \frac{\partial y_2}{\partial y_1}$$

Sklon izofaktoru.

Izokosta

$$N = C_{x_1} x_1 + C_{x_2} x_2$$

Přímka konstantních nákladů.

Izotržby

$$T = C_{y_1} y_1 + C_{y_2} y_2$$

Přímka konstantních tržeb.

Trendová funkce

$$x_t = a + b \cdot t$$

Dosadíš $t = T + h$.

Bodová prognóza

$$\hat{y}_{T+h} = \text{redukovaný}(\hat{x}_{T+h})$$

Z trendové fce predikuj $x$, pak dosaď do redukovaného modelu.

Intervalová prognóza

$$\hat{y}_{\text{MIN/MAX}} = (a \mp j s_a) + (b \mp j s_b) t$$

$j$ = násobek směr. chyby pro hladinu (typicky 2 pro 95 %).

Normované odchylky

$$N_{it} = \frac{\hat{y}_{it} - y_{it}}{S_u}$$

$|N_{it}| < 2$ ✓. Samostatně nerozhoduje, posuzuj sérii.

DMNČ – 1. krok

$$\hat{Y}_2 = X (X^T X)^{-1} X^T Y_2$$

Vypočti teoretické hodnoty endogenních proměnných na pravé straně.

Spotřební vs poptávková

Poptávka = zamýšlené množství při ceně, příjmu, ostatních determinant. Spotřeba = realizovaná poptávka.

Engelovy fce — požadavky

Minimální příjem (2.,3. TQ), nasycenost (1.,2. TQ), nezáporná spotřeba (vše).

Nabídková funkce firmy

SR: rostoucí $MC$ od min. $AVC$. LR: rostoucí $MC$ od min. $AC$ (= bod uzavření).

Reference

Slovníček A–Z

Všechny pojmy, na které můžeš při studiu narazit, stručně vysvětlené. Pořadí abecední.

Adjustovaný $R^2$ (korigovaný): Variant koeficientu determinace trestající nadbytečné proměnné. Pomáhá rozhodnout o zařazení další proměnné (viz Q29).
Autokorelace reziduí: Náhodná složka $u_t$ je korelovaná se svými předchozími hodnotami. Detekce: DW, BG. Důsledek: odhady nejsou nejlepší, prognóza je zkreslená (viz Q32–37).
Bodová prognóza: Předpověď konkrétní jediné hodnoty (viz Q119, Q122).
BMNČ (OLS): Běžná metoda nejmenších čtverců. Vzorec $\hat{\gamma} = (X^T X)^{-1} X^T y$. Pro 1-rovnicové, prosté a rekurzivní modely a přesně identifikované simultánní (viz Q18–19).
BG test: Breusch-Godfreyův test autokorelace reziduí. H0: bez autokorelace. Chceme $p > \alpha$ (viz Q34).
BP test: Breusch-Paganův test heteroskedasticity. H0: bez heteroskedasticity. Chceme $p > \alpha$ (viz Q41).
Ceteris paribus: „Ostatní stejné" — předpoklad, že měníme jen jednu proměnnou, ostatní zůstávají konstantní.
Cobb-Douglasova funkce: Speciální případ mocninné PF: $y = A \cdot K^\alpha \cdot L^\beta$.
Delfská metoda: Subjektivní prognostická metoda založená na expertních odhadech ve více kolech (viz Q118).
DMNČ (2SLS): Dvoustupňová metoda nejmenších čtverců. Pro simultánní modely v rovnicích s $y$ na obou stranách. 1. krok: $\hat{Y}_2 = X(X^TX)^{-1}X^T Y_2$; 2. krok: BMNČ s $\hat{Y}_2$ (viz Q72–76).
Dummy proměnná: Uměle vytvořená proměnná s hodnotami 0/1. Použití: zachycení šoku, odstranění multikolinearity, sezónnost (viz Q13).
Durbin-Watson: Test autokorelace. $DW \approx 2$ ✓; $DW \to 0$ kladná, $DW \to 4$ záporná autokorelace (viz Q33).
EKM: Ekonomický model — funkční zápis bez náhodné složky: $y = f(x_1, \ldots, x_n)$.
EKMR: Ekonometrický model — rovnice s parametry a náhodnou složkou: $y = \gamma_1 x_1 + \ldots + u_t$.
Elastický / inelastický: $|E| > 1$ elastický (citlivý), $|E| < 1$ inelastický.
Engelovy funkce: Spotřební funkce, kde vysvětlující proměnnou je příjem. Podmnožinou jsou Tornquistovy fce.
Ex-ante prognóza: Předpověď do budoucna = pozitivní prog. horizont (viz Q117).
Ex-post prognóza: Předpověď do minulosti — slouží k ověření vlastností modelu (viz Q116).
Exogenní proměnná: Označuje se $x$. Vždy vysvětlující, nikdy vysvětlovaná.
F-test: Test celkové vhodnosti modelu. H0: model není vhodný. Chceme $p < 0{,}05$ (viz Q24).
Heteroskedasticita: „Různorozptylovost" — rozptyl reziduí není konstantní. Detekce: BP, White, PT. Řešení: MVNČ (viz Q38–42).
Homoskedasticita: Konstantní rozptyl reziduí (předpoklad LRM).
Hřebenové křivky: Izokliny oddělující pozitivní a negativní oblast MMZF (viz Q92).
Identifikace: Posouzení, zda lze odhadnout strukturální parametry. Kritérium $k^{**} \gtreqless g^* - 1$. Provádí se u simultánních modelů (viz Q64).
Identitní (definiční) rovnice: Deterministický vztah s předem známými parametry, bez náhodné složky. Neprovádí se identifikace (viz Q62).
Intervalová prognóza: Předpověď intervalu (MIN; MAX) s danou pravděpodobností (viz Q119, Q124).
Izoklina: Funkce spojující na různých izokvantách body se stejnou MMZF (viz Q91).
Izokosta: Izonákladová funkce — kombinace faktorů se stejným nákladem. Přímka (viz Q94).
Izokvanta: Kombinace faktorů $x_1, x_2$ se stejnou produkcí $y$. Vztah F-F (viz Q87).
Izofaktor: Kombinace produkcí $y_1, y_2$ při stejném množství faktoru $x$. Vztah P-P (viz Q98).
Izotržby: Kombinace produkcí $y_1, y_2$ se stejnými tržbami. Přímka (viz Q104).
JB test: Jarque-Berův test normality reziduí. H0: rezidua mají normální rozdělení. Chceme $p > \alpha$ (viz Q43).
Koeficient determinace: $R^2 \in \langle 0; 100\% \rangle$ — z kolika % je $y$ vysvětlena modelem (viz Q28).
Korigovaný reziduální rozptyl: $\bar{S_u^2} = u^T u / (n-k)$, používán v kovariační matici.
Kovariační matice: $\text{Cov}(\hat{\gamma}) = \bar{S_u^2} (X^T X)^{-1}$. Diagonála = rozptyly parametrů.
LRM: Lineární regresní model. Tvar $y = X\gamma + u$.
Matice B: Matice parametrů před endogenními proměnnými. Podle tvaru: jednotková = prostý, trojúhelníková = rekurzivní, plná = simultánní (viz Q66).
Matice $\Gamma$: Matice parametrů před predeterminovanými proměnnými.
Matice multiplikátorů M: $M = -B^{-1} \Gamma$. Parametry před predeterm. v redukovaném tvaru. Rozměr $[g \times k]$ (viz Q59).
MMZF: Mezní míra záměny faktorů — sklon izokvanty $\partial x_2/\partial x_1$ (viz Q90).
MMZP: Mezní míra záměny produktů — sklon izofaktoru $\partial y_2/\partial y_1$ (viz Q100).
Mocninná funkce: $y = \beta_0 \cdot x_1^{\beta_1} \cdots$. Parametry = přímo elasticity. Linearizace logaritmem (viz Q15-16 ve skriptech).
Multikolinearita: Nežádoucí závislost mezi vysvětlujícími proměnnými ($|r| > 0{,}8$). Řeší: postupné diference, vyloučení, dummy, ignorace (viz Q11–12).
MVNČ: Metoda vážených nejmenších čtverců — řešení heteroskedasticity (viz Q42).
Nákladová funkce: Vztah P-F: $N = f(y)$. Inverzní k PF. Degresivně-progresivní průběh (viz Q106-110).
Nejlepší odhad: Má nejmenší rozptyl ze všech nestranných odhadů (viz Q22).
Nestranný odhad: Jeho střední hodnota = hledanému parametru (viz Q22).
Normalita reziduí: Předpoklad LRM — rezidua $u_t$ mají normální rozdělení. Test: JB.
Normovaná odchylka $N_{it}$: $N_{it} = (\hat{y}_{it} - y_{it})/S_u$. Pro ověření prognostických vlastností. Samostatně nerozhoduje (viz Q121, Test 11 ot. 18).
p-hodnota: Hodnota ze software v $\langle 0;1 \rangle$. Pokud $p < \alpha$, zamítám H0 (viz Q27).
Predeterminovaná proměnná: Soubor exogenních + zpožděných exogenních + zpožděných endogenních proměnných (viz Q61).
Produkční funkce: Vztah F-P: $y = f(x_1, \ldots, x_n)$. Progresivně-degresivní průběh (viz Q77-85).
Produkční pružnost $E_p$: $E_p = MP/AP$ — o kolik % se zvýší produkce při 1% růstu faktoru.
Prognóza: Předpověď ekonomického jevu s využitím vědecké metody (viz Q115).
Projekční matice Q: $Q = X(X^TX)^{-1}X^T$. Mapuje $y \to \hat{y}$. Symetrická a idempotentní.
Projekční matice M: $M = E - Q$. Mapuje $y \to u$. $Q \perp M$.
Rekurzivní model: Matice B je trojúhelníková. Mezi $y$ jsou jen dopředné nebo jen zpětné vazby. Odhad BMNČ.
Reziduální součet čtverců (RSS): $RSS = \sum u_i^2$. Minimalizační kritérium BMNČ.
Rezidua: $u = y - \hat{y}$ — rozdíl skutečnosti a modelu (viz Q6).
Simultánní model: Matice B má nenulové prvky nad i pod diagonálou. Vazby mezi $y$ se kříží. Odhad: BMNČ (pokud přesně id.) nebo DMNČ.
Strukturální parametr: $\gamma$ před predeterm., $\beta$ před endogenními proměnnými. Interpretují se přímo.
Strukturální vs redukovaná forma: Strukturální: $y$ vlevo i vpravo, nelze pro prognózu. Redukovaná: $y$ jen vlevo, $x$ vpravo, lze pro prognózu (viz Q58).
t-test: Test statistické významnosti jednoho parametru. H0: parametr nevýznamný. Chceme $p < 0{,}05$ (viz Q24).
Tornquistova funkce (TQ): Podmnožina Engelových fcí. 1.TQ nezbytné, 2.TQ rel. zbytné, 3.TQ luxus (viz Q51).
Verifikace: 4 typy: matematická, ekonomická, statistická, ekonometrická (viz Q8).
VIP příklady (lektor): BMNČ z matic 2×2, dynamizace, matice B a $\Gamma$, identifikace, multikolinearita, elasticity, TQ + linearizace, prognóza z M (viz Učební plán).
White test: Obecnější test heteroskedasticity než BP. Zachytí i nelineární formy. Chceme $p > \alpha$.
Chovův test: Test stability parametrů v čase (časová invariantnost) — viz Q46.

Reference

Řešené testy

Tři kompletní testy s řešením. Test 11 (20 otázek, ručně řešený), typed zkouškový test (16 otázek) a zápisky z ústní zkoušky 21.1.2016 (18 otázek).

Test 11 — Zkouškový test (20 otázek, ručně řešený)

T11-1

Ekonometrickým modelem lze popsat jevy, pro něž platí, že jsou (Max 2)

Odpověď:

a) kvantifikovatelné
b) vyjádřitelné analyticky (matematicky)
c) jevy, k nimž jsou podkladová data

T11-2

EKMR v redukovaném tvaru obsahuje vazby (Max 2)

Odpověď: a) komplexní · b) přímé a zprostředkované mezi endo. a exo. proměnnou (vliv všech EXO na endogenní).

T11-3

Podle tvaru matice B dělíme modely na… (Max 3)

Odpověď: prosté · rekurzivní · simultánní.

T11-4

Na základě teorie o multikolinearitě sestavte dvourovnicový simultánní model s konstantou ($x_1$ není v korelační matici)

Z matice párových korelačních koeficientů identifikujeme silně korelované páry ($|r| > 0{,}8$): $(y_2, x_2) = 0{,}9$, $(y_1, x_3) = -0{,}9$, $(y_1, x_4) = 0{,}85$, $(x_2, x_3) = 0{,}8$, $(x_2, x_4) = -0{,}9$. Z nich vybereme tak, aby v každé rovnici nebyly silně korelované proměnné.

$$y_1 = \beta_{12} y_2 + \gamma_{11} + \gamma_{13} x_3 + \gamma_{14} x_4 + u_1$$ $$y_2 = \beta_{21} y_1 + \gamma_{21} + \gamma_{22} x_2 + u_2$$

T11-5

Interpretujte vliv všech parametrů EXO proměnných (ceny klesají, příjem roste)

a) Mocninná: $y_t = 1{,}4 \cdot x_3^{-1{,}1} \cdot x_4^{-0{,}1} \cdot x_5^{0{,}8}$

$e_{ii} = -1{,}1$ — když klesne cena hovězího o 1 %, spotřeba hovězího se zvýší o 1,1 % (elastický).
$e_{ij} = -0{,}1$ — vepřové je komplement (záporné znaménko), velmi slabá vazba.
$E_i = 0{,}8$ — když vzroste příjem o 1 %, spotřeba hovězího se zvýší o 0,8 % (nezbytný statek).

b) 1.TQ: $y_t = 48 \cdot x_5/(x_5 + 217)$

$a_1 = 48$ → míra nasycení pro spotřebu hovězího masa je 48 kg/os./rok.

T11-6

Pro 1.TQ $y_t = 10 \cdot x_3/(x_3 + 5)$ dopočítejte stochastickou proměnnou (Max 3)

Vzorec: $u = y - \hat{y}$.

$y_t$	$x_3$	$\hat{y}$	$u$
5,5	5	$10 \cdot 5/10 = 5$	0,5
6	10	$10 \cdot 10/15 = 6{,}66$	−0,66

T11-7

3-rovnicový model: identifikace, matice B, matice $\Gamma$, vlastnosti (Max 10)

Model: $y_1 = 3y_{1,t-1} + 0{,}5y_3 + 3x_1 - 2x_3 + u_1$ ; $y_2 = y_{2,t-1} - 0{,}5x_4 + 2x_2 + u_2$ ; $y_3 = y_1 + y_2$. Dáno: $g=3$, $k=6$, $g^*_1 = 2$, $k^{**}_1 = 3$.

a) Identifikace 1. rovnice: $k^{**} \geq g^* - 1$ → $3 \geq 2 - 1$ → $3 \geq 1$ ✓ → 1. rovnice je přeidentifikovaná.

b) Matice B (řádky $y_1, y_2, y_3$; sloupce $y_1, y_2, y_3$):

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -0{,}5 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

1. rovnice → DMNČ (má $y$ napravo) · 2. rovnice → BMNČ (jen $y_2$ vlevo, $y_{2,t-1}$ jen zpožděné) · 3. rovnice → identitní (nic).

c) Matice $\Gamma$ (sloupce $x_1, x_2, x_3, x_4, y_{1,t-1}, y_{2,t-1}$):

$$\Gamma = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 2 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0{,}5 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

e) Přívlastky modelu: strukturální · simultánní · dynamický · stochastický.

T11-8

Co ovlivňuje víc poptávku po zboží — cena nebo příjem? (Max 5)

Model: $y_i = 15 - 0{,}4 c_i + 0{,}06 P\check{r} + u_t$. $c_i = 20$ Kč ($= 0{,}020$ tis. Kč), $P\check{r} = 21$ tis. Kč.

$$\hat{y} = 15 - 0{,}4 \cdot 0{,}020 + 0{,}06 \cdot 21 = 16{,}25$$ $$e_{ii} = -0{,}4 \cdot \frac{0{,}020}{16{,}25} = -0{,}00049$$ $$E_i = 0{,}06 \cdot \frac{21}{16{,}25} = 0{,}077$$

Poptávka je víc ovlivněna příjmem ($|E_i| > |e_{ii}|$).

T11-9

Klesne-li příjem na 20 500 Kč — o kolik se změní spotřeba? (Max 5)

Pokles příjmu z 21 000 na 20 500 = pokles o 500 Kč = pokles o $500/21000 \cdot 100 = 2{,}38 \%$.

Z $E_i = 0{,}077$: $\downarrow 2{,}38\% P\check{r} \Rightarrow \downarrow 0{,}077 \cdot 2{,}38 = 0{,}18\% \cdot y$.

$0{,}18\% \cdot 16{,}25 = 0{,}029$ kg → nová spotřeba: $16{,}25 - 0{,}029 = \mathbf{16{,}221}$ kg.

T11-10

Upravte vstupní data pro $HDP_t = f(Sp_t, I_{t-1}, G_{t-2}, O_t)$ (Max 10)

Vzhledem ke zpoždění $I$ o 1 rok a $G$ o 2 roky musíme začít od 3. řádku (vyřadíme řádky 1 a 2). Doplníme konstantu (sloupec jedniček).

$$y = \begin{pmatrix} 860 \\ 990 \\ 980 \end{pmatrix} \quad X = \begin{pmatrix} 1 & 580 & 240 & 100 & 10 \\ 1 & 610 & 260 & 100 & 15 \\ 1 & 650 & 270 & 110 & -6 \end{pmatrix}$$

Sloupce: konstanta, $Sp_t$, $I_{t-1}$, $G_{t-2}$, $O_t$.

T11-11

Zakreslete graf degresivně-progresivní NF a popište body (Max 7)

Osa svislá: $N$ (náklady), osa vodorovná: $y$ (produkce). Křivka tvaru „S" — nejprve degresivní (konkávní, klesající sklon), pak progresivní (konvexní, rostoucí sklon). Body:

$FC$ — fixní náklady (průsečík s osou $N$ při $y = 0$).
Inflexní bod — kde $MN$ je minimální (přechod degresivní→progresivní).
Bod min $AC$ (technické optimum) — minimum jednotkových nákladů.
Bod $MN = MT$ (ekonomické optimum, maximalizace zisku).

Tvar: $N = a + by - cy^2 + dy^3$.

T11-12

PF $y = 3x + 8x^2 - 2x^3$. Vypočtěte max. jednotkové produkce (Max 5)

Maximum AP je tam, kde $MP = AP$.

$AP = y/x = 3 + 8x - 2x^2$

$MP = y' = 3 + 16x - 6x^2$

$3 + 16x - 6x^2 = 3 + 8x - 2x^2 \Rightarrow -4x^2 + 8x = 0 \Rightarrow x(8 - 4x) = 0 \Rightarrow x = 0$ nebo $x = 2$.

Dosadíme $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 + 8 \cdot 4 - 2 \cdot 8 = 6 + 32 - 16 = \mathbf{22}$ → maximální jednotková produkce $AP = 22/2 = 11$.

T11-13

$N_j = 180 - 10P + 0{,}3P^2$, $MT = 120$. Max zisk z jednotky produkce (Max 5)

$CN = N_j \cdot P = 180P - 10P^2 + 0{,}3P^3$

$MN = CN' = 180 - 20P + 0{,}9P^2$

Optimum: $MN = MT$: $180 - 20P + 0{,}9P^2 = 120 \Rightarrow 0{,}9P^2 - 20P + 60 = 0$

$P_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 216}}{1{,}8} = \frac{20 \pm 13{,}56}{1{,}8}$ → $P = 18{,}65$ nebo $P = 3{,}58$.

Pro $P = 18{,}65$: $N_j = 180 - 10 \cdot 18{,}65 + 0{,}3 \cdot 18{,}65^2 = 97{,}85$.

Maximální zisk = cena − min. $N_j$ = $120 - 97{,}85 = \mathbf{22{,}15}$.

T11-14

Zatrhněte rovnici izofaktoru (Max 3)

Možnost 3. $y_2 = f(y_1 \,//\, x)$ — to je izofaktor. Vztah produkt–produkt. Řeší: optimální kombinace dvou produkcí při daném množství faktoru.

T11-15

Index klimatických podmínek — co je třeba znát (Max 4)

a) $q_1, q_2, \ldots$ = váhy jednotlivých odvětví rostlinné produkce

b) $k_1, k_2, \ldots$ = klimatické indexy pro jednotlivá odvětví

c) Vzorec: $K = \dfrac{k_1 q_1 + k_2 q_2 + \ldots}{q_1 + q_2 + \ldots}$ (vážený průměr).

T11-16

Nabídková fce $Q_N = 10 + 0{,}5 c_i$ — jaká hodnota parametru ceny v poptávce? (Max 3)

Pavoučí model (cobweb): pro stále stejnou oscilaci (neutrální stabilita) musí platit $|b_p| = |b_n|$. Z nabídky $b_n = 0{,}5$ → v poptávce $b_p = -0{,}5$ (přesně stejná absolutní hodnota, opačné znaménko).

$|b_p| < |b_n|$ → konvergence (stabilní)
$|b_p| = |b_n|$ → konstantní oscilace
$|b_p| > |b_n|$ → divergence (nestabilní)

T11-17

Trendová fce $x_3 = 0{,}5 + 2t$ se s.ch. $(0{,}1; 0{,}2)$, $n = 8$, $j = 2$. Min a max ve 2. roce kladného horizontu (Max 3)

2. rok kladného horizontu: $t = 8 + 2 = 10$.

$$\hat{x}_{10}^{\text{MIN}} = (0{,}5 - 2 \cdot 0{,}1) + (2 - 2 \cdot 0{,}2) \cdot 10 = 0{,}3 + 1{,}6 \cdot 10 = \mathbf{16{,}3}$$ $$\hat{x}_{10}^{\text{MAX}} = (0{,}5 + 0{,}2) + (2 + 0{,}4) \cdot 10 = 0{,}7 + 2{,}4 \cdot 10 = \mathbf{24{,}7}$$ $$\hat{x}_{10} = 0{,}5 + 2 \cdot 10 = \mathbf{20{,}5} \text{ (bodová)}$$

Intervalová prognóza: $(16{,}3; 24{,}7)$.

T11-18

Hodnota $N_{it} = -1{,}3$. Z toho plyne… (Max 4)

Správná odpověď: d) jde pouze o dílčí výsledek, samostatně ještě o ničem nerozhoduje.

Normovaná odchylka jedné hodnoty nestačí — musíme posoudit celou sérii odchylek (zda všechny leží v pásmu $|N_{it}| < 2$).

T11-19

Co představuje matice multiplikátorů a jaký je její rozměr? (Max 3)

Matice multiplikátorů $M$ obsahuje parametry před predeterminovanými proměnnými v redukovaném tvaru modelu. Vyjadřuje komplexní (přímé + zprostředkované) vazby mezi endogenními a predeterminovanými proměnnými.

Rozměr: $[g \times k]$ (počet endogenních × počet predeterminovaných).

T11-20

Matice multiplikátorů z let 1998–2007 ($n=10$). Prognóza $y_3$ v roce 2009 (Max 10)

Matice $M$ (řádky $y_1, y_2, y_3$; sloupce $x_1, x_2, x_3, x_4$):

$$M = \begin{pmatrix} -3 & 0{,}5 & 2 & -1 \\ 20 & 3 & -0{,}5 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

Trendové fce: $x_2 = 2 - 0{,}5t$, $x_3 = 1 + 2t$, $x_4 = 0{,}5 + t$. $T = 10$, pro 2009 → $h = 2$, $t = 12$.

Prognóza vysvětlujících:

$$x_2 = 2 - 0{,}5 \cdot 12 = -4 \qquad x_3 = 1 + 2 \cdot 12 = 25 \qquad x_4 = 0{,}5 + 12 = 12{,}5$$

Rovnice z $M$ pro $y_3$: $y_3 = 2 - x_2 + x_3 + 3x_4$ (a $x_1 = 1$, jednotkový vektor).

$$\hat{y}_3 = 2 - (-4) + 25 + 3 \cdot 12{,}5 = 2 + 4 + 25 + 37{,}5 = \mathbf{68{,}5}$$

Zkouškový test typed (16 otázek)

T-1

Typ modelu podle vztahu mezi endo. p. a vhodná metoda odhadu

Odpověď: rekurzivní model → BMNČ.

Klasifikace podle matice B: prostý (B = jednotková, BMNČ) · rekurzivní (B = trojúhelníková — jen dopředné nebo jen zpětné vazby, BMNČ) · simultánní (B nenulové prvky nad i pod diagonálou, BMNČ pokud přesně id. nebo DMNČ).

T-2

Odvoďte matice B a $\Gamma$ z modelu

Postup: přepiš model do tvaru, kde všechny $y$ jsou vlevo (s opačnými znaménky), $x$ vpravo. Matice B = parametry před nezpožděnými $y$ (na diagonále 1, pod/nad podle vazeb). Matice $\Gamma$ = parametry před všemi predeterm. proměnnými (s opačnými znaménky než v původní rovnici).

T-3

Stochastické předpoklady ekonometrického modelu

Specifikační: 1) neopomenutí podstatné proměnné, 2) vypuštění irelevantních, 3) volba správné funkční formy, 4) stabilní parametry (časová invariantnost).

Předpoklady o náhodné složce: 1) bez autokorelace $\text{Cor}(u_i, u_j) = 0$, $i \neq j$, 2) homoskedasticita $\text{Var}(u_t) = \sigma^2 < \infty$, 3) normalita reziduí, 4) nulový průměr $E(u_t) = 0$.

T-4

Účel a princip Breusch-Paganova testu

Používá se při ekonometrické verifikaci k testování heteroskedasticity.

H0: předpoklad heteroskedasticity není porušen (= homoskedasticita). H1: je porušen.

V Gretlu získám p-hodnotu, porovnám s $\alpha$. Pokud $p < \alpha$: zamítám H0 → v modelu je heteroskedasticita. Chceme $p > \alpha$ (= homoskedasticitu).

T-5

Prognóza se liší od skutečnosti o 10 mil. — je přesnější?

Nelze určit. Potřebujeme znát další informace podle typu posouzení: pro normované odchylky bychom potřebovali skutečnou hodnotu a směrodatnou odchylku. Také záleží na měřítku — 10 mil. v kontextu HDP je málo, v kontextu firmy je hodně.

T-6

Rozdíl mezi odhadnutým parametrem a koeficientem pružnosti

U lineárního tvaru: odhadnutý parametr říká, o kolik jednotek se změní $y$, když $x$ vzroste o 1 jednotku. Elasticita říká totéž v procentech.

U mocninného tvaru: odhadnuté parametry jsou přímo koeficienty pružnosti (po linearizaci logaritmem).

T-7

Matice a vektory potřebné pro DMNČ — rozměry

$X_*$ = matice všech predeterm. proměnných v dané rovnici, rozměr $[n \times k^*]$
$X$ = matice všech predeterm. proměnných v celém modelu (nejdřív se píšou ty z $X_*$), rozměr $[n \times k]$
$Y_2$ = matice všech endogenních $y$ na pravé straně rovnice, rozměr $[n \times g_2]$
$y_1$ = vektor jedné endogenní $y$ na levé straně, rozměr $[n \times 1]$

T-8

Model přímých investic — odstranění multikolinearity + interpretace konstanty

Řešení multikolinearity:

Převedení jedné z korelovaných na postupné diference (následující − předchozí) nebo relativní odchylky (následující/předchozí).
Vyloučení jedné z korelovaných proměnných.
Ignorace (předpověď bude fungovat, ale nelze interpretovat parametry).
Náhrada dummy proměnnou.

Interpretace konstanty 3,5: Když by $x_{1t} = x_{2t} = x_{3t} = 0$, přímá investice by byla 3,5 mil. Kč/rok, ceteris paribus.

T-9

Odvození izokvanty pro $y = 10$ z produkční funkce

Pro produkční fci vyjadřuji $y_1$ (vlevo).
Pro izokvantu (F-F) určuji $x_2$ — z PF dosadím konkrétní $y$ a vyjádřím $x_2$ pomocí $x_1$.
Pro izofaktor (P-P) určuji $y_2$ pomocí $y_1$.

T-10

EKMR: $y_1 = -72{,}5 + 16{,}3x_1 + 3{,}06x_{1,t-1} - 2{,}85x_2 + 65{,}9x_3 + u$. Verifikace + interpretace

a) Ekonomická verifikace:

Konstanta: kdyby všechny vysvětlující byly 0, změna HDP by klesla o 72,5 mld Kč.
Spotřeba domácností ↑ 1 mld → HDP ↑ 16,27 mld (✓ ekonomicky správně).
Loňská spotřeba ↑ 1 mld → HDP ↑ 3,06 mld.
Čistý export ↑ 1 mld → HDP ↓ 2,85 mld (negativní znaménko = země víc dováží než vyváží).
PZI ↑ 1 mld EUR → HDP ↑ 65,9 mld Kč (přitéká kapitál).

b) Statistická verifikace:

F-test: $p = 0{,}01372 < 0{,}05$ → model jako celek je významný.
$R^2 = 0{,}9685$ → 96,85 % variability HDP je vysvětleno modelem.

c) Co má největší vliv na $y$: spočítáme elasticity v daném bodě. Při hodnotách $x_1=27, x_{1,t-1}=30, x_2=78, x_3=0{,}9$: $\hat{y} = 295{,}84$. Elasticity: $e_1 = 1{,}4851$, $e_{1,t-1} = 0{,}3103$, $e_2 = -0{,}7508$, $e_3 = 0{,}2005$. Největší pozitivní vliv má $x_1$ (spotřeba domácností).

T-11

Nákladová funkce je definována zpravidla jako… (multiple choice)

Správné odpovědi: b) degresivně-progresivní · c) vztah mezi produkcí a celkovými náklady · e) rostoucí funkce.

T-12

Trendová funkce: bodová prognóza pro 2. a 3. rok kladného horizontu

Předpokládáme $x_{3t} = 75 - 2{,}1t$, $T = 10$.

Pro 2. rok: $t = T + h = 10 + 2 = 12$ → $x_{3,12} = 75 - 2{,}1 \cdot 12 = 75 - 25{,}2 = \mathbf{49{,}8}$.

Pro 3. rok: $t = 10 + 3 = 13$ → $x_{3,13} = 75 - 2{,}1 \cdot 13 = 75 - 27{,}3 = \mathbf{47{,}7}$.

T-13

Postup při odvození prognózy ex-post

Předpovídá do minulosti = negativní prognostický horizont. Ex-post prognóza předpovídá již známé hodnoty a je využívána k ověření prognostických vlastností modelu (srovnáme predikci se skutečností v minulém období).

T-14

Maticový zápis ex-ante a jednotlivé kroky

Ex-ante = předpověď do budoucna (pozitivní prog. horizont). Kroky:

Převedeme strukturální model na redukovaný: $M = -B^{-1} \cdot \Gamma$.
Určíme časovou proměnnou $t = T + h$ a dosadíme do trendových funkcí vysvětlujících.
Vypočítané hodnoty $\hat{x}_{T+h}$ dosadíme do redukovaného modelu → získáme $\hat{y}_{T+h}$.

Maticově: $\hat{y}_{T+h} = M \cdot \hat{x}_{T+h}$.

T-15

Matice X a vektor y pro odhad NF jako polynom 3. stupně

NF: $N = a + b y - c y^2 + d y^3$. Data: 4 podniky (produkce, náklady, tržby).

Vysvětlovaná = náklady $N$; vysvětlující: konstanta, $y$, $y^2$, $y^3$.

$$y_{(\text{nákl})} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \quad X = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \\ 1 & 5 & 25 & 125 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \end{pmatrix}$$

Sloupce: 1 (konstanta), $y$ (produkce), $y^2$, $y^3$.

T-16

Co dělá ekonometrie?

Ekonometrie je věda, která na základě statistiky, matematiky a ekonomie:

Kvantifikuje vztahy mezi ekonomickými veličinami.
Vytváří modely pro prognózu vývoje zkoumaného jevu.

Ústní zkouška — zápisky 21.1.2016 (18 otázek)

Zápisky studentky z ústní zkoušky u dr. Rybáře. Otázky jsou méně formální, vyžadují pohotovou ústní odpověď.

Ú-1

Sestavit 3-rovnicový rekurzivní model, aby všechny rovnice byly přesně identifikované. Zapsat matici B

Příklad: $y_1 = \gamma_{11} x_1 + u_1$ ; $y_2 = \beta_{21} y_1 + \gamma_{22} x_2 + u_2$ ; $y_3 = \beta_{31} y_1 + \beta_{32} y_2 + \gamma_{33} x_3 + u_3$.

Matice B trojúhelníková:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\beta_{21} & 1 & 0 \\ -\beta_{31} & -\beta_{32} & 1 \end{pmatrix}$$

Identifikace každé rovnice: $k^{**} = g^* - 1$.

Ú-2

Jsou rovnice prostého modelu všechny identifikovatelné?

b) všechny — u prostého modelu (B = jednotková) jsou rovnice na sobě nezávislé, není potřeba je identifikovat. Odhad přímo BMNČ.

Ú-3

Rozdíl mezi stochastickými a identitními rovnicemi

Stochastická: obsahuje náhodnou složku $u_t$, parametry se odhadují.
Identitní (definiční): deterministický vztah, parametry předem známé (většinou rovny 1), bez $u_t$. Neidentifikuje se. Příklad: $y_3 = y_1 + y_2$ (zemědělská výroba = rostlinná + živočišná).

Ú-4

Stochastické parametry

Parametry náhodné složky:

$E(u) = 0$ — střední hodnota (průměr odchylek je nulový).
$D^2(u) = \sigma^2$ — rozptyl (rozptýlení odchylek, předpoklad homoskedasticity).

Ú-5

Jaké typy odhadů pro EKMR znáte?

S úplnou informací (využívají informace ze všech rovnic): TMNČ (třístupňová MNČ).
S omezenou/neúplnou informací (odhadují každou rovnici zvlášť): BMNČ, DMNČ.

Ú-6

Navrhnout rovnici poptávky (lineární)

$$y_t = \gamma_0 + \gamma_1 x_{i,t} + \gamma_2 x_{j,t} + \gamma_3 x_{p,t} + u_t$$

$y$ = spotřeba (poptávka), $x_i$ = cena vlastního výrobku, $x_j$ = cena cizího (substitut/komplement), $x_p$ = příjem.

Ú-7

Bodová a intervalová pružnost — jak se počítají

Bodová pružnost (v daném bodě): $e = \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{x}{\hat{y}}$ — derivace × poměr.
Intervalová (oblouková) pružnost (mezi 2 body): $e = \frac{\Delta y / \bar{y}}{\Delta x / \bar{x}}$ — relativní změny.
Existuje i rozdílový koeficient pružnosti, který respektuje zakřivení funkce (pro nelineární průběhy).

Ú-8

Produkční funkce — odvodit izofaktor (společný faktor $x = 25$)

Postup: ze dvou jednofaktorových PF $y_1 = f(x_1)$ a $y_2 = f(x_2)$ inverzně vyjádříme $x_1 = g(y_1)$ a $x_2 = h(y_2)$. Společný faktor: $x = x_1 + x_2 = 25$. Dosadíme: $g(y_1) + h(y_2) = 25$ → vyjádříme $y_2$ pomocí $y_1$ → izofaktor.

Ú-9

Vektor Y a X upravit pro 1. TQ funkci

1. TQ: $y_t = a_1 \cdot \frac{x_p}{x_p + a_2} + u_t$. Linearizace: $y'_t = a_1' + a_2' x_p'$, kde $a_1' = 1/a_1$, $a_2' = a_2/a_1$. Pro BMNČ použijeme reciproké hodnoty:

$$y' = \begin{pmatrix} 1/y_1 \\ 1/y_2 \\ \vdots \end{pmatrix} \qquad X' = \begin{pmatrix} 1 & 1/x_{p,1} \\ 1 & 1/x_{p,2} \\ \vdots & \vdots \end{pmatrix}$$

Ú-10

Použití BMNČ + vlastnosti odhadu (nejlepší, nestranný, konzistentní)

BMNČ poskytuje:

Nestranný odhad: $E(\hat{\gamma}) = \gamma$ (žádné systematické nadhodnocení/podhodnocení).
Nejlepší (BLUE): nejmenší rozptyl ze všech nestranných odhadů.
Konzistentní: při $n \to \infty$ konverguje k pravé hodnotě.

Podmínka: musí platit všechny předpoklady LRM (Gauss-Markovovy).

Ú-11

Jaké příčiny mohou ovlivnit tyto vlastnosti?

Autokorelace reziduí: odhady jsou stále nestranné a konzistentní, ale nejsou nejlepší. Statistické testy dávají zkreslené výsledky.
Heteroskedasticita: stejně — nestranné, konzistentní, ale ne nejlepší. Přesnost prognózy se zhoršuje s časem.

Ú-12

Kovariační matice

Prvky na diagonále kovariační matice jsou rozptyly strukturálních parametrů $S_{ii}$, používané v t-testech. Vzorec:

$$\text{Cov}(\hat{\gamma}) = \bar{S_u^2} \cdot (X^T X)^{-1}$$

$\bar{S_u^2}$ = korigovaný reziduální rozptyl, $(X^T X)^{-1}$ = testovací matice.

Ú-13

Popsat NF, jednotkové náklady a mezní náklady

NF = vztah produkt-faktor, $N = f(y)$, degresivně-progresivní tvar $N = a + by - cy^2 + dy^3$.

Jednotkové (průměrné) náklady AC: $AC = N/y$ — náklady připadající na jednotku produkce.
Mezní náklady MN: $MN = \partial N / \partial y$ — náklady na dodatečnou jednotku.

Kritérium optimality: $MN = MT = C_y$.

Ú-14

Jak odvodit prognózu ze strukturálního modelu

Strukturální model nelze přímo použít pro prognózu, protože obsahuje endogenní proměnné na obou stranách. Musíme ho převést na redukovaný tvar:

$$M = -B^{-1} \cdot \Gamma$$

Z redukovaného modelu pak dosadíme prognózované hodnoty predeterminovaných proměnných a získáme $\hat{y}_{T+h}$.

Ú-15

Definice prognózy

Předpověď ekonomického jevu odvozená s využitím vědecké metody.

Ú-16

Vypsat objektivní metody prognózování

Analýza trendových funkcí
Regresní analýza
Strukturální analýzy
Matematické programování
Metody síťové analýzy

Ú-17

Investice korelují s HDP — co musíš udělat?

To je multikolinearita. Řešení:

Postupné diference (následující hodnota − předchozí).
Relativní odchylky (následující/předchozí).
Dummy proměnná (záporné = 0, kladné = 1).
Časový vektor.
Vyloučení jedné z korelovaných.

Ú-18

Postup výpočtu a vyhodnocení DW testu

Postup:

Vypočítáme rezidua $u_t$ z odhadnutého modelu.
Dosadíme do vzorce: $DW = \frac{\sum_{t=2}^n (u_t - u_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^n u_t^2}$
Hodnota DW leží v $\langle 0; 4 \rangle$.
Porovnáme s tabulkovými hodnotami $d_L$ a $d_U$ pro daný počet pozorování $n$ a počet parametrů $k$.

Vyhodnocení:

$DW \approx 2$ → bez autokorelace ✓
$DW < d_L$ → kladná autokorelace
$DW > 4 - d_L$ → záporná autokorelace
$d_L < DW < d_U$ nebo $4 - d_U < DW < 4 - d_L$ → nerozhodná oblast
$d_U < DW < 4 - d_U$ → bez autokorelace ✓

Zkouškový test ČZU — celý 20-otázkový test

Druhý kompletní test (rok ~2010, podle dat z roku 2006). Vyextrahováno z 8 naskenovaných stránek pomocí Claude vision + cross-check s Tesseract OCR.

EX2-Q1

Čím je tvořena stochastická rovnice ekonometrického modelu? + Napiš ekon. model pro vztah spotřeba vs. příjem ($y_i = f(x_p)$)

Stochastická rovnice EKMR má dvě části:

a) Deterministická část — strukturální parametry × predeterminované proměnné: $\beta_{ii} y_i + \gamma_{ij} x_j + \ldots$
b) Stochastická část — náhodná složka $u_t$ (rezidua: vlivy nezahrnuté, chyby v datech, chyby funkčního tvaru)

Model pro vztah spotřeby a příjmu: $y_{it} = f(x_p)$ — tzv. Engelovy funkce. Podmnožinou jsou Tornquistovy funkce:

1. TQ (nezbytné statky, chleba): $y_t = a_1 \cdot \frac{x_p}{x_p + a_2}$
2. TQ (relativně nezbytné, máslo): $y_t = a_1 \cdot \frac{x_p - a_3}{x_p + a_2}$
3. TQ (luxusní, vrtulníky): $y_t = a_1 \cdot x_p \cdot \frac{x_p - a_3}{x_p + a_2}$

EX2-Q2

Sestavte obecný ekonometrický model: a) simultánní, b) dynamický, c) třírovnicový se 4 predeterminovanými a 1 identitní rovnicí

Příklad modelu splňujícího všechny požadavky najednou:

$$\begin{aligned} y_{1t} &= \beta_{12} y_{2t} + \gamma_{11} + \gamma_{12} x_{1t} + \gamma_{13} x_{2(t-1)} + u_{1t} \\ y_{2t} &= \beta_{21} y_{1t} + \gamma_{21} + \gamma_{22} x_{3t} + \gamma_{23} y_{1(t-1)} + u_{2t} \\ y_{3t} &= y_{1t} + y_{2t} \quad \text{(identitní)} \end{aligned}$$

simultánní: $y_1 \leftrightarrow y_2$ (kříží se → matice B má nenulové prvky nad i pod diagonálou)
dynamický: obsahuje zpožděné proměnné $x_{2(t-1)}$, $y_{1(t-1)}$
4 predet. proměnné: jednotkový vektor, $x_{1t}, x_{2(t-1)}, x_{3t}, y_{1(t-1)}$
1 identitní rovnice: $y_{3t} = y_{1t} + y_{2t}$ — deterministická, bez $u_t$

EX2-Q3

Odpovídá odhadnutá rovnice teoretickým předpokladům a očekáváním? Vysvětlete

Postup posouzení (= ekonomická verifikace):

Znaménka parametrů — odpovídají teorii? (např. cena $\to$ záporné, příjem $\to$ kladné)
Velikost parametrů — je realistická?
Interpretace — ceteris paribus dává smysl?

Pokud ano → model lze přijmout. Pokud ne → vrátit se na krok 1 (specifikace).

EX2-Q4

Sestavte vektor y a matici X pro zpožděnou proměnnou cena zemědělského výrobce (zpoždění 2 období)

Zadaná tabulka (1999–2006, $n=8$ let):

rok	$y_t$	$x_{2t}$ cena	$x_{5t}$	$x_1$ konst
1999	185,5	22,22	11,7	1
2000	194,2	23,64	18,3	1
2001	211,5	26,93	22,6	1
2002	254,0	27,58	16,1	1
2003	293,5	22,34	18,8	1
2004	321,0	21,82	21,6	1
2005	334,4	25,82	20,4	1
2006	341,4	21,95	26,0	1

Protože je zpoždění 2 období, první 2 řádky (1999, 2000) musíme vyškrtnout (nemáme předchozí hodnoty). Výsledné matice:

$$y = \begin{pmatrix} 211{,}5 \\ 254{,}0 \\ 293{,}5 \\ 321{,}0 \\ 334{,}4 \\ 341{,}4 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} 1 & 22{,}22 & 22{,}6 \\ 1 & 23{,}64 & 16{,}1 \\ 1 & 26{,}93 & 18{,}8 \\ 1 & 27{,}58 & 21{,}6 \\ 1 & 22{,}34 & 20{,}4 \\ 1 & 21{,}82 & 26{,}0 \end{pmatrix}$$

Sloupce v $X$: $x_1$ (konst.), $x_{2(t-2)}$ (zpožděná cena), $x_{5t}$.

EX2-Q5

Je dán ekonometrický model — sestavte matici B a Γ (6 bodů)

Zadaný model:

$$\begin{aligned} y_{1t} &= 0{,}5 + 4 x_{2t} - 3 x_{3t} + 5 x_{5t} + 0{,}4 y_{3t} + u_{1t} \\ y_{2t} &= 2{,}6 y_{1t} + 4 - 3{,}7 x_{4t} + u_{2t} \\ y_{3t} &= 1{,}4 - 3 x_{2t} + 5 x_{4t} + u_{3t} \\ y_{4t} &= 1{,}7 + 8 x_{1t} + 4 x_{6t} + u_{4t} \end{aligned}$$

Převedeno na levou stranu (sloupce: $y_1, y_2, y_3, y_4$):

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -0{,}4 & 0 \\ -2{,}6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Matice Γ (sloupce: konst., $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$):

$$\Gamma = \begin{pmatrix} -0{,}5 & 0 & -4 & 3 & 0 & -5 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & 0 & 3{,}7 & 0 & 0 \\ -1{,}4 & 0 & 3 & 0 & -5 & 0 & 0 \\ -1{,}7 & -8 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$$

Typ modelu: rekurzivní (matice B je dolní trojúhelníková, ale $y_3$ je v 1. rovnici → pozor, B obsahuje $-0{,}4$ nad diagonálou → ve skutečnosti simultánní podle vazeb).

EX2-Q6

Z korelační matice určete, zda je v rovnicích vysoká multikolinearita (5 bodů)

	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$x_1$	$x_2$	$x_3$
$y_1$	1
$y_2$	0,79	1
$y_3$	0,63	0,82	1
$x_1$	0,76	0,47	0,38	1
$x_2$	-0,002	0,52	0,36	-0,05	1
$x_3$	0,85	0,97	0,77	0,96	0,25	1

Kritérium: $|r| > 0{,}8$ mezi dvěma vysvětlujícími (x) proměnnými = vysoká multikolinearita. Mezi $y$ a $x$ je naopak žádoucí.

Problém: $|r(x_1, x_3)| = 0{,}96 > 0{,}8$ → vysoká multikolinearita mezi $x_1$ a $x_3$.

Řešení: odstranit jednu z $\{x_1, x_3\}$, nebo nahradit postupnou diferencí, relativní odchylkou, dummy.

EX2-Q7

Deklarujte matice a vektory pro odhad mocninné poptávkové funkce metodou BMNČ

Mocninná funkce: $y_t = \beta_0 \cdot x_{1t}^{\beta_1} \cdot x_{2t}^{\beta_2} \cdot x_{3t}^{\beta_3} \cdot u_t$

Linearizace (logaritmus obou stran):

$$\ln y_t = \ln \beta_0 + \beta_1 \ln x_{1t} + \beta_2 \ln x_{2t} + \beta_3 \ln x_{3t} + \varepsilon_t$$

Vektor a matice obsahují logaritmické hodnoty:

$$y' = \begin{pmatrix} \ln y_{t1} \\ \ln y_{t2} \\ \vdots \end{pmatrix}, \quad X' = \begin{pmatrix} 1 & \ln x_{1,1} & \ln x_{2,1} & \ln x_{3,1} \\ 1 & \ln x_{1,2} & \ln x_{2,2} & \ln x_{3,2} \\ \vdots & & & \end{pmatrix}$$

Po výpočtu BMNČ se odhadne $\ln \beta_0$ a $\beta_1, \beta_2, \beta_3$. $\beta_0 = e^{\ln \beta_0}$.

EX2-Q10

Spočtěte matici multiplikátorů M a zapište model v redukované formě

Zadané: $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \\ -8 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\Gamma = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

Vzorec převodu $$M = -B^{-1} \cdot \Gamma$$

Po výpočtu (kalkulačka, str. 21 skript):

$$M \approx \begin{pmatrix} -0{,}78 & -0{,}32 & -1{,}08 & -1 \\ -3{,}11 & -3{,}84 & -4{,}46 & -2 \\ -0{,}05 & 0{,}08 & 0{,}27 & -1 \end{pmatrix}$$

Redukovaný tvar (rovnicový zápis):

$$\begin{aligned} y_{1t} &= -0{,}78 x_{1t} - 0{,}32 x_{2t} - 1{,}08 x_{3t} - 1 x_{4t} + v_{1t} \\ y_{2t} &= -3{,}11 x_{1t} - 3{,}84 x_{2t} - 4{,}46 x_{3t} - 2 x_{4t} + v_{2t} \\ y_{3t} &= -0{,}05 x_{1t} + 0{,}08 x_{2t} + 0{,}27 x_{3t} - 1 x_{4t} + v_{3t} \end{aligned}$$

EX2-Q11

Co reprezentuje zápis $x_1 = f(x_2 \,//\, y = \text{konst.})$?

Toto je izokvanta (vztah faktor–faktor). Vyjadřuje veškeré kombinace faktorů $x_1$ a $x_2$, při kterých je dosaženo stejné konstantní produkce $y$.

Odpověď: b) izokvanta

a) nákladová funkce: $N = f(y)$ ❌
b) izokvanta: $x_1 = f(x_2 \,//\, y = konst.)$ ✓
c) izofaktorová funkce: $y_1 = f(y_2 \,//\, x = konst.)$ ❌
d) izonákladová funkce: $x_1 = f(x_2 \,//\, N = konst.)$ ❌
e) produkční dvoufaktorová: $y = f(x_1, x_2)$ ❌

EX2-Q12

Charakteristiky nákladové funkce $N_c \approx 730 + 8{,}2y - 0{,}8y^2 + 0{,}04y^3$ při y=30, $C_y = 1000$ Kč

Celkové náklady (TC): $N_c(30) = 730 + 8{,}2 \cdot 30 - 0{,}8 \cdot 900 + 0{,}04 \cdot 27000 = 730 + 246 - 720 + 1080 = 1336$

Jednotkové náklady (AC): $\bar{N}_j = \frac{N_c}{y} = \frac{1336}{30} = 44{,}53$

Mezní náklady (MC): $MN = \frac{dN_c}{dy} = 8{,}2 - 1{,}6 y + 0{,}12 y^2$. Pro $y=30$: $MN = 8{,}2 - 48 + 108 = 68{,}2$

Zisk: $\pi = C_y \cdot y - N_c = 1000 \cdot 30 - 1336 = 28\,664$ Kč

Optimum: $MN = C_y \Rightarrow 0{,}12 y^2 - 1{,}6 y + 8{,}2 = 1000$ → řešení kvadratické rovnice.

EX2-Q13

Nakreslete izofaktorovou funkci pro $y_1 = 2{,}5 x^{0{,}7}$, $y_2 = 0{,}8 x^{0{,}4}$

Společný faktor $x = x_1 + x_2$ → vyjádřit $x$ z první rovnice, dosadit do druhé.

Z $y_1 = 2{,}5 x_1^{0{,}7}$ → $x_1 = (y_1 / 2{,}5)^{1/0{,}7}$. Analogicky $x_2 = (y_2 / 0{,}8)^{1/0{,}4}$.

Pro konstantní $x = x_1 + x_2 = k$ dostaneme izofaktorovou funkci $y_2 = f(y_1 \,//\, x = k)$.

Typický průběh: klesající, konkávní (oba produkty jsou konkurenční — produkty soutěží o společný faktor).

EX2-Q14

Odvoďte izokvantu z $y = 3 + 4 x_1 - 3 x_2 + 6 x_1 x_2$

Z rovnice vyjádříme $x_2$ jako funkci $x_1$ a konstantního $y$:

$$y - 3 - 4 x_1 = -3 x_2 + 6 x_1 x_2 = x_2 (-3 + 6 x_1)$$ $$x_2 = \frac{y - 3 - 4 x_1}{6 x_1 - 3}$$

Pro známé $y$ je tato rovnice izokvanta — všechny kombinace $(x_1, x_2)$ dávající stejnou produkci.

EX2-Q15

Co je kovariační matice? Uveďte vztah pro její výpočet

Kovariační matice obsahuje na hlavní diagonále rozptyly strukturálních parametrů $S_{ii}$, které se používají při t-testu (testování významnosti).

Vzorec $$\text{cov}(\beta) = \overline{S_u^2} \cdot (X^T \cdot X)^{-1}$$

kde:

$\overline{S_u^2}$ = korigovaný reziduální rozptyl: $\overline{S_u^2} = \frac{\sum u_t^2}{n - p}$
$(X^T X)^{-1}$ = testovací matice (z BMNČ)

Směrodatná chyba: $S_{\beta i} = \sqrt{S_{ii}}$, pak $t = \frac{|\beta_i|}{S_{\beta i}}$.

EX2-Q16

Způsob výpočtu intervalu spolehlivosti odhadnutého parametru + interpretace

$$IS = (\beta_i - t_{\alpha} \cdot S_{\beta i};\; \beta_i + t_{\alpha} \cdot S_{\beta i})$$

kde $t_{\alpha}$ je tabulková hodnota t-rozdělení na hladině významnosti $\alpha$ (typicky 0,05 → 95% IS).

Interpretace: v intervalu se s pravděpodobností $(1-\alpha)$ nachází skutečná hodnota parametru.

Test významnosti: pokud IS obsahuje nulu, parametr je statisticky nevýznamný.

EX2-Q17

Postup testování významnosti parametru i-té exogenní proměnné t-testem (4 b.)

Výpočet testovací matice $(X^T X)^{-1}$
Výpočet korigovaného reziduálního rozptylu $\overline{S_u^2}$
Rozptyl odhadnutého parametru: $S_{ii} = \overline{S_u^2} \cdot [(X^T X)^{-1}]_{ii}$
Směrodatná chyba: $S_{\beta i} = \sqrt{S_{ii}}$
Testovací kritérium: $t = \frac{|\beta_i|}{S_{\beta i}}$
Porovnání s tabulkovou $t_{\alpha, n-p}$:
- $t > t_{\alpha}$ → parametr je významný (zamítám H₀)
- $t \leq t_{\alpha}$ → parametr je nevýznamný

EX2-Q18

Definujte nejlepší, nestranný, konzistentní odhad. Co musí být splněno? (6 b.)

Nestranný: $E(\hat{\beta}) = \beta$ — střední hodnota odhadu se rovná skutečné hodnotě parametru. Nedochází k nadhodnocování ani podhodnocování.
Nejlepší: má nejmenší rozptyl ze všech nestranných odhadů.
Konzistentní: s rostoucím $n$ konverguje k hodnotě parametru: $\hat{\beta}_n \to \beta$.

Pro dosažení (BLUE): musí platit Gauss-Markovovy předpoklady — homoskedasticita, nepřítomnost autokorelace reziduí, $E(u_t) = 0$, normalita reziduí (pro testy).

Pokud je porušeno → BMNČ dává nestranné a konzistentní, ale ne nejlepší odhady.

EX2-Q19

Postup využití normovaných odchylek k posouzení vhodnosti prognózy (5 b.)

Normované odchylky $N_{it}$ porovnávají skutečnou a prognózovanou hodnotu, normalizovanou směrodatnou chybou prognózy:

$$N_{it} = \frac{y_t - \hat{y}_t}{S_{\hat{y}}}$$

Postup:

Spočítej ex-post prognózu pro known období.
Spočítej $N_{it}$ pro každé pozorování.
Pravidlo: pokud $|N_{it}| \leq 2$ → prognóza je v intervalu spolehlivosti 95% → model má dobré prognostické vlastnosti.
Pokud $|N_{it}| > 2$ → model nepředpovídá dobře dané období.

Pozor: $N_{it}$ je dílčí ukazatel jednoho období — pro celkové hodnocení potřebuješ víc měření.

EX2-Q20

Odvoďte bodovou prognózu $y_t$ pro rok 2012 (8 b.)

Zadání: $y_t = 1{,}5 + 0{,}5 x_{2t} + 1{,}5 x_{3t-1} + u_t$, model odhadnut na 2001–2010 ($T = 10$).

Trendové funkce pro vysvětlující proměnné:

$x_{1t}$ = jednotkový vektor (vždy = 1)
$x_{2t} = 1{,}5 + 0{,}3 t$
$x_{3t} = 58 + 0{,}5 t$

Rok 2012 = 2. rok prognostického horizontu (T+h, kde h=2), takže $t = T + h = 10 + 2 = 12$.

Pozor — model používá $x_{3t-1}$ (zpožděné), takže potřebujeme $x_{3,t-1}$, tj. hodnotu z roku 2011 → $t = 11$.

Prognóza vysvětlujících proměnných:

$$\hat{x}_{2,12} = 1{,}5 + 0{,}3 \cdot 12 = 5{,}1$$ $$\hat{x}_{3,11} = 58 + 0{,}5 \cdot 11 = 63{,}5$$

Bodová prognóza:

$$\hat{y}_{2012} = 1{,}5 + 0{,}5 \cdot 5{,}1 + 1{,}5 \cdot 63{,}5 = 1{,}5 + 2{,}55 + 95{,}25 = \boxed{99{,}3}$$

Reference · Print

Tahákové karty

Šest A4 karet, každá samostatná na samostatný list (při tisku se rozdělí). Vytisknout dvojstranně, nosit ke zkoušce (jen jsou-li poznámky povolené!).

Karta 1 · Verifikace modelu — jak postupovat

4 typy verifikace — vždy v tomto pořadí:

Typ	Co kontroluje	Nástroje
1. Matematická	správnost výpočtu parametrů	dosaď průměry $\bar{y}, \bar{x}$ — obě strany musí být rovny
2. Ekonomická	znaménka + velikost parametrů dle teorie	cena ↑ → spotřeba ↓; substitut +, komplement −; příjem +
3. Statistická	vhodnost modelu jako celku + významnost parametrů	$R^2$, $\bar{R}^2$, t-test, F-test, IS
4. Ekonometrická	splnění předpokladů LRM	DW, BG (autokorelace), BP, White, PT (heter.), JB (normalita), Chow (stabilita)

Co kontrolovat — kontrolní seznam:

$R^2 > 0{,}5$ ideálně, $> 0{,}8$ velmi dobré
F-test: $p < 0{,}05$ ✓ (model jako celek významný)
t-testy parametrů: $p < 0{,}05$ ✓ (parametr významný)
DW: $\approx 2$ ✓ (bez autokorelace)
BG/BP/White/JB: $p > 0{,}05$ ✓ (předpoklady neporušeny)

Pamatuj na rozdíl chcení p-hodnoty t-test, F-test: chceme $p < \alpha$ (zamítnout H0, parametr významný). BG, BP, White, JB, Chow: chceme $p > \alpha$ (nezamítnout H0, předpoklad neporušen).

Karta 2 · Identifikace simultánního modelu krok za krokem

Kdy se identifikuje: pouze u simultánních modelů (matice B má nenulové prvky nad i pod diagonálou). U prostých a rekurzivních NE.

Kritérium (pro každou rovnici zvlášť!):

$$k^{**} \;\gtreqless\; g^* - 1$$

$k^{**}$ = počet predeterm. proměnných (incl. zpožděné $y$), které NEJSOU v rovnici z celkového modelu
$g^*$ = počet nezpožděných endogenních proměnných ZAHRNUTÝCH v rovnici

Podmínka	Stav rovnice	Co dál
$k^{*} = g^ - 1$	přesně identifikovaná	BMNČ (po převodu na redukovaný)
$k^{*} > g^ - 1$	přeidentifikovaná	DMNČ
$k^{*} < g^ - 1$	podidentifikovaná	nelze řešit, model přepsat

Postup v písemce

Identifikuj každou stochastickou rovnici zvlášť (identitní rovnice neidentifikujeme).
Spočítej $g^*$ — počet nezpožděných $y$ v rovnici.
Spočítej $k^{**}$ — kolik predeterm. (z celého modelu) v rovnici NENÍ.
Aplikuj kritérium.

Zrada: zpožděné endogenní $y_{t-1}$ patří do $k^{**}$, ne do $g^*$!

VIP úprava: pokud rovnice není přesně identifikovaná, můžeš přidat/odebrat $y$ nebo $x$, abys to vyrovnal.

Karta 3 · Všechny pružnosti se vzorci a interpretací

Pružnost	Vzorec	Co znamená
Přímá cenová $e_{ii}$	$e_{ii} = \dfrac{\partial y}{\partial x_i} \cdot \dfrac{x_i}{\hat{y}}$	O kolik % se změní spotřeba při 1% změně vlastní ceny. Vždy záporná (s ↑ ceny ↓ spotřeba).
Křížová $e_{ij}$	$e_{ij} = \dfrac{\partial y}{\partial x_j} \cdot \dfrac{x_j}{\hat{y}}$	O kolik % se změní spotřeba při 1% změně ceny jiného statku. + = substitut, − = komplement.
Příjmová $E_i$	$E_i = \dfrac{\partial y}{\partial x_p} \cdot \dfrac{x_p}{\hat{y}}$	O kolik % se změní spotřeba při 1% změně příjmu.

Klasifikace podle velikosti:

$\|e\|$	Pojem	Příklad statku
$\|e\| > 1$	elastický	luxus, dovolená
$\|e\| = 1$	jednotkově elastický	—
$\|e\| < 1$	inelastický	nezbytný — chleba, mléko
$E_i < 0$	inferiorní statek	(s růstem příjmu ↓ spotřeba)

Shortcut pro mocninnou fci $y = \beta_0 \cdot x_i^{\beta_1} \cdot x_j^{\beta_2} \cdot x_p^{\beta_3}$ → parametry $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ jsou přímo elasticity $e_{ii}, e_{ij}, E_i$ (není třeba derivovat!).

Další typy: bodová (v jednom bodě, vzorce výše), oblouková/intervalová (mezi 2 body, použij relativní změny), rozdílový koeficient (pro nelineární průběh).

Pravidlo trojčlenky pro simulaci: $E \cdot \% \Delta x = \% \Delta y$.

Karta 4 · BMNČ — výpočet z matic 2×2, vzorový postup

Cíl: z dat $(y, X)$ spočítat parametry $\hat{\gamma} = (X^TX)^{-1} X^T y$.

Krok 1. Sestav $X$ (s konstantou jako 1. sloupec) a $y$:

$$X = \begin{pmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_n \end{pmatrix} \qquad y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$$

Krok 2. Vypočti $X^T X$ a $X^T y$ (matice 2×2 a vektor 2×1):

$$X^T X = \begin{pmatrix} n & \sum x_i \\ \sum x_i & \sum x_i^2 \end{pmatrix} \qquad X^T y = \begin{pmatrix} \sum y_i \\ \sum x_i y_i \end{pmatrix}$$

Krok 3. Inverze 2×2 matice $A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$:

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

Krok 4. Vynásob: $\hat{\gamma} = (X^TX)^{-1} \cdot X^T y$ → získáš $\hat{\gamma}_1$ (konstanta) a $\hat{\gamma}_2$ (sklon).

Krok 5. Spočítej rezidua $u = y - X\hat{\gamma}$ a $\bar{S_u^2} = \frac{u^T u}{n-k}$ pro testy.

Postup na kalkulačce CASIO fx-991

MODE → MATRIX → 1 (MatA) → zvol velikost (2×2 nebo 3×3)
Zadej čísla, mezi nimi mačkej „=" (rovnítko)
AC (vše OK, jen se vrací do hlavního režimu)
Shift + 4 → 3 (MatA) → $x^{-1}$ → =
Vidíš inverzní matici

Karta 5 · Tornquistovy funkce — vše na jednom místě

Typ	Tvar	Použití	Vlastnosti
1. TQ	$y_t = a_1 \cdot \dfrac{x_p}{x_p + a_2}$	nezbytné (chleba, mléko, voda)	nasycená ($a_1$), bez min. příjmu
2. TQ	$y_t = a_1 \cdot \dfrac{x_p - a_3}{x_p + a_2}$	relativně nezbytné (máslo)	nasycená ($a_1$), s min. příjmem $a_3$
3. TQ	$y_t = a_1 \cdot x_p \cdot \dfrac{x_p - a_3}{x_p + a_2}$	luxus (vrtulníky, jachty)	nenasycená, s min. příjmem $a_3$

Linearizace 1. TQ pro BMNČ:

$$a_1' = \frac{1}{a_1}, \quad a_2' = \frac{a_2}{a_1} \quad\Rightarrow\quad y'_t = a_1' + a_2' \cdot x'_p + u_t$$

V maticích pro BMNČ použij reciproké hodnoty: $y' = 1/y$, $x'_p = 1/x_p$.

Příklad — převod tam a zpět Mám $y_t = 10 \cdot x_p / (x_p + 4)$ → $a_1 = 10$, $a_2 = 4$ → $a_1' = 1/10 = 0{,}1$, $a_2' = 4/10 = 0{,}4$ → $y'_t = 0{,}1 + 0{,}4 x_p$.
Zpětně: Mám $y'_t = 0{,}1 + 0{,}4 x_p$ → $0{,}1 = 1/a_1 \to a_1 = 10$; $0{,}4 = a_2/10 \to a_2 = 4$ → $y_t = 10 \cdot x_p / (x_p + 4)$.

Požadavky na Engelovy funkce: minimální příjem (2., 3. TQ), nasycenost (1., 2. TQ), nezáporná spotřeba (vše).

Interval příjmových elasticit: 1. TQ ∈ (0; 1), 2. TQ ∈ (0; 1), 3. TQ > 1.

Karta 6 · Prognóza z trendové funkce — kompletní postup

Vstupní data: matice multiplikátorů $M$ (z redukovaného modelu), trendové fce vysvětlujících proměnných, počet pozorování $T$, prognostický horizont $h$.

Krok 1. Zjisti $t = T + h$ (čas pro prognózu).

Krok 2. Dosaď $t$ do trendových funkcí jednotlivých $x_i$ — získáš $\hat{x}_{i,(T+h)}$.

Krok 3. Z matice $M$ vypiš rovnice redukovaného modelu pro $y$, které chceš prognózovat (řádky = endogenní, sloupce = predeterminované).

Krok 4. Dosaď prognózované $\hat{x}$ do rovnic → získáš $\hat{y}_{T+h}$ (bodová prognóza).

Krok 5 (intervalová). Pro každou trendovou fci $\hat{x} = a + bt$ se s.ch. parametrů $(s_a, s_b)$:

$$\hat{x}_{\text{MIN/MAX}} = (a \mp j \cdot s_a) + (b \mp j \cdot s_b) \cdot t$$$j = 2$ pro 95% interval

Vzorový příklad (skripta str. 38–40, M8/5/51) $T = 13$ (1998–2010), $h = 4$ (rok 2014) → $t = 17$. Trendové fce: $x_2 = 0{,}5 + 0{,}4t$, $x_3 = 18{,}2 - 0{,}2t$.
Krok 2: $\hat{x}_2 = 0{,}5 + 0{,}4 \cdot 17 = 7{,}3$; $\hat{x}_3 = 18{,}2 - 0{,}2 \cdot 17 = 14{,}8$.
Krok 3 (z $M$): $y_1 = 5 + 4x_2 - x_3$; $y_3 = 10 - 2x_2 + 1{,}5x_3$.
Krok 4: $\hat{y}_1 = 5 + 4 \cdot 7{,}3 - 14{,}8 = \mathbf{19{,}4}$; $\hat{y}_3 = 10 - 2 \cdot 7{,}3 + 1{,}5 \cdot 14{,}8 = \mathbf{17{,}6}$.

Ověření prognostických vlastností: ekon. interpretovatelnost, $R^2$, t-testy, F-test, normované odchylky $N_{it} = (\hat{y}_{it} - y_{it})/S_u$ (chci $|N_{it}| < 2$).

Klíčová pravidla Prognóza se odvozuje vždy z redukovaného modelu (nikdy ze strukturálního). Strukturální převedeme pomocí $M = -B^{-1}\Gamma$.

Ekonometrie od nuly ke zkoušce.

Úvod

⌨ Klávesové zkratky

✓ Sledování pokroku

🌓 Tmavý režim

🔎 Hledání

Mapa pojmů

Učební plán

1 týden — crash

2–3 týdny — vyvážený

4+ týdny — důkladně

A Základy ekonometrie

B Lineární regresní model (LRM)

C Běžná metoda nejmenších čtverců (BMNČ)

D Statistická verifikace

Nejčastější hypotézy

E Problémy modelu (ekonometrická verifikace)

F Spotřební funkce & elasticity

Přímá cenová pružnost eii

Křížová cenová pružnost eij

Příjmová pružnost Ei

G Vícerovnicové modely & metody odhadu

Ukázka substituce u dvourovnicového simultánního modelu

H Produkční & nákladové funkce

H.1 Produkční funkce (vztah Faktor–Produkt)

Jaký vztah reprezentuje produkční funkce?

Jak se liší odvětvová PF od mikroekonomické (podnikové)?

Jaký je průběh neoklasické PF?

Charakteristiky produkční funkce

Průběh MP a AP u neoklasické PF

Stádia neoklasické PF a pružnosti v nich

Kritérium optimality pro PF (maximalizace zisku)

Charakteristiky dvoufaktorové PF

Průběh dvoufaktorové PF graficky

H.2 Izokvanta (vztah Faktor–Faktor)

Z jaké funkce lze odvodit izokvantu?

Definujte izokvantu

K čemu lze použít izokvantu?

Typický průběh izokvanty

Co je to MMZF?

Co jsou to izokliny?

Racionální a neracionální oblast záměny faktorů

Kritérium optimality pro izokvantu (F-F)

Izonákladová funkce (izokosta)

Grafické řešení optimalizace F-F

Co je to efekt substituce?

Co je to efekt expanze?

H.3 Izofaktorová funkce (vztah Produkt–Produkt)

Jaký vztah reprezentuje izofaktor?

Jak izofaktor odvodit?

Definujte MMZP

K čemu se izofaktor používá?

Typický průběh izofaktoru

Kritérium optimality pro izofaktor

Funkce izotržeb

Grafické řešení optimalizace P-P

H.4 Nákladová funkce (vztah Produkt–Faktor)

Jaký vztah reprezentuje nákladová funkce?

Vztah produkční a nákladové funkce

Průběh nákladové funkce

Charakteristiky nákladové funkce

Kritérium optimality pro nákladovou funkci

Odvození nákladové funkce z produkční

Rozdíl: krátké vs dlouhé období

Obecný tvar degresivně-progresivní nákladové funkce

Obecný tvar progresivně-degresivní produkční funkce

I Prognózy

Přímá cenová pružnost e_ii

Křížová cenová pružnost e_ij

Příjmová pružnost E_i